Analiza e variancës (ANOVA)

Hyrje në Statistikë · Tema 8

Analiza e variancës njëfaktoriale dhe faktoriale, krahasimet e planifikuara dhe post hoc, faktorët fiksë dhe të rastësishëm, matjet e përsëritura dhe modeli i përgjithshëm linear.

Hyrje: Krahasimi i disa mesatareve me një model

Një test t krahason dy mesatare. Tema 3 ndau dy dizajne: testi t për kampione të pavarura krahason dy grupe të përbëra nga raste të ndryshme, ndërsa testi t për kampione të çiftuara krahason dy matje të lidhura, shpesh nga të njëjtët persona. Çfarë bëjmë kur pyetja zgjerohet nga dy mesatare në tri, katër ose më shumë?

ANOVA është korniza më e gjerë për këtë hap të radhës. Një faktor është një ndryshore shpjeguese kategorike, kategoritë e së cilës quhen nivele. ANOVA njëfaktoriale mes grupeve e zgjeron krahasimin e kampioneve të pavarura në disa nivele ku marrin pjesë raste të ndryshme. ANOVA njëfaktoriale me matje të përsëritura e zgjeron krahasimin e çiftuar në disa nivele ose raste matjeje të lidhura te të njëjtat njësi ose persona. Kryerja e një testi t të veçantë dhe të papërshtatur për çdo çift do të thotë ta vlerësosh secilin test pa marrë parasysh testet e tjera në grup. Kjo krijon shumë mundësi për të bërë një gabim të llojit I, domethënë një rezultat pozitiv të rremë kur hipoteza zero përkatëse është e vërtetë.

Analiza e variancës, e shkurtuar ANOVA, fillon me një test të përgjithshëm. Ky test bën një pyetje të vetme të përgjithshme për të gjitha grupet:

A ka dëshmi se të paktën dy mesatare të popullatës ndryshojnë?

Emri mund të duket fillimisht i çuditshëm. ANOVA i krahason mesataret duke analizuar ndryshueshmërinë. Ajo e ndan ndryshueshmërinë totale të rezultatit sasior në ndryshueshmëri që lidhet me përkatësinë në grup dhe ndryshueshmëri që mbetet brenda grupeve. Raporti i tyre prodhon statistikën \(F\).

Metoda me dy mesatare nuk është zhdukur. Në rastin e veçantë me saktësisht dy grupe të pavarura, testi i zakonshëm t me variancë të bashkuar dhe ANOVA njëfaktoriale me faktor fiks testojnë të njëjtën barazi nën të njëjtat kushte të variancës së barabartë. Për statistikat e tyre vlen

\[ F(1,N-2)=t(N-2)^2. \]

Ngritja në katror e heq shenjën e \(t\)-së, prandaj \(F\) nuk tregon se cila mesatare është më e lartë. Ajo pyet vetëm nëse dy mesataret ndryshojnë. Kështu, testi dyanësh t dhe ky test \(F\) me një shkallë lirie në numërues japin të njëjtën vlerë p. ANOVA bëhet veçanërisht e dobishme kur një pyetje e përgjithshme duhet të bashkërendojë më shumë se dy mesatare ose më shumë se një faktor.

Kjo nuk është largim nga regresioni. Tema 7 tregoi si mund të paraqitet një ndryshore parashikuese kategorike me ndryshore treguese dhe si mund të testohen së bashku disa koeficiente të lidhura. ANOVA merr të njëjtën ide të modelit linear dhe e organizon rreth faktorëve, mesatareve të grupeve dhe shumave të katrorëve.

Pyetja udhëzuese: Kur krahasojmë disa mesatare grupesh, si mund ta peshojë një test i vetëm i përgjithshëm ndarjen e tyre kundrejt ndryshueshmërisë që mbetet brenda grupeve?

Tabela 1: ANOVA dhe regresioni përdorin fjalor të ndryshëm për pyetje të lidhura ngushtë të modelit linear.
Gjuha e regresionit të shumëfishtë Gjuha e ANOVA-s E njëjta ide themelore
Rezultat sasior Rezultat sasior Për çdo njësi vëzhgimi modelohet një vlerë e matur
Ndryshore parashikuese kategorike Faktor Përkatësia në kategori ndihmon në përcaktimin e mesatares së përshtatur
Kategoria referuese dhe koeficientët tregues Nivelet e faktorit dhe krahasimet e grupeve Disa kategori kërkojnë disa parametra të bashkërenditur
Testi global ose i ndërfutur \(F\) Testi i përgjithshëm \(F\) Një hipotezë zero e përbashkët testohet me ndryshueshmërinë e përfaqësuar në raport me ndryshueshmërinë e mbetur
Termi i ndërveprimit Ndërveprimi i faktorëve Marrëdhënia për një ndryshore parashikuese ose faktor varet nga një tjetër

Fjalori ndryshon sepse ndryshon theksi shkencor. Në regresion, shpesh fillojmë duke lexuar pjerrësitë individuale. Në ANOVA, fillojmë me faktorin në tërësi dhe pyesim nëse të gjitha mesataret e tij të popullatës mund të jenë të barabarta. Vlerat e përshtatura, rezidualet, shumat e katrorëve dhe logjika e \(F\) mbeten të lidhura me atë që tashmë ke mësuar.

KëshillëIdeja kryesore

Testi i përgjithshëm \(F\) pyet nëse ndonjë nga mesataret e popullatës ndryshon. Nuk identifikon se cilat ndryshojnë. Një kontrast i planifikuar është krahasim i përqendruar i mesatareve të grupeve, i përcaktuar para se të shqyrtohen rezultatet. Një krahasim post hoc zgjidhet më pas. Këto procedura u përgjigjen pyetjeve më të caktuara, me përshtatje kur testohen disa përfundime të lidhura.

Objektivat e të nxënit

Në fund të kësaj teme, duhet të jesh në gjendje:

  • të përkufizosh faktorët, nivelet, qelizat dhe dizajnet e balancuara e të pabalancuara;
  • të shpjegosh pse një ANOVA e vetme e përgjithshme parapëlqehet ndaj shumë testeve t të papërshtatura;
  • t’i shprehësh saktë hipotezat e ANOVA-s njëfaktoriale;
  • të llogaritësh dhe të interpretosh shumat e katrorëve, shkallët e lirisë, katrorët mesatarë dhe \(F\);
  • të lexosh dhe të ndërtosh një tabelë të plotë të ANOVA-s njëfaktoriale;
  • të kontrollosh dizajnin dhe supozimet e modelit para se ta interpretosh testin;
  • të dallosh kontrastet e planifikuara nga krahasimet post hoc;
  • të shpjegosh pse testimi i shumë krahasimeve mes grupeve rrit mundësinë e të paktën një rezultati pozitiv të rremë dhe si mund të kufizohet ai rrezik;
  • të dallosh mesataret e qelizave, mesataret margjinale, efektet kryesore dhe ndërveprimet;
  • të dallosh faktorët, nivelet e të cilëve janë zgjedhur qëllimisht, nga faktorët, nivelet e të cilëve përfaqësojnë një popullatë më të gjerë;
  • të shpjegosh pse matjet e përsëritura nga i njëjti person kërkojnë trajtim të veçantë; dhe
  • ta lidhësh ANOVA-n me modelin e përgjithshëm linear pa e ngatërruar me modelin e përgjithësuar linear.

Faktorët, nivelet, qelizat dhe balanca

ANOVA përdor një ndryshore sasiore të rezultatit, vlerën e matur, mesataret e së cilës krahasohen, dhe një ose më shumë ndryshore shpjeguese kategorike të quajtura faktorë.

Një nivel është një kategori e faktorit. Nëse faktori është kushti i studimit me katër kategori, ai ka katër nivele. Një qelizë është një grup i vëzhguar që përcaktohet nga një kombinim nivelesh të faktorëve. Në ANOVA-n njëfaktoriale, çdo nivel është një qelizë. Në një dizajn me dy faktorë, çdo kombinim i një niveli të faktorit A me një nivel të faktorit B formon një qelizë të veçantë.

Tabela 2: Termat bazë të dizajnit të ANOVA-s.
Termi Përkufizimi fillestar Shembull strukture
Rezultati Matje sasiore, mesataret e së cilës krahasohen Një rezultat të nxëni për çdo rast
Faktori Ndryshore shpjeguese kategorike Kushti i studimit
Niveli Një kategori e faktorit Kushti referues
Qeliza Raste që ndajnë një kombinim nivelesh të faktorëve Niveli 1 i faktorit A bashkë me nivelin 2 të faktorit B
Dizajni i balancuar Numër i barabartë rastesh në çdo grup ose qelizë përkatëse 40 raste në secilin nga katër kushtet
Dizajni i pabalancuar Madhësi të pabarabarta të grupeve ose qelizave 30, 35, 40 dhe 55 raste

Lexoje tabelën duke nisur nga matja. Së pari identifiko rezultatin sasior. Pastaj identifiko faktorin kategorik dhe renditi nivelet e tij. Më pas përcakto qelizat që krijohen nga kombinimet e sakta të niveleve. Vetëm pasi këto role të jenë të qarta, numëroji vëzhgimet dhe vendos nëse dizajni është i balancuar. Ky rend parandalon një gabim të zakonshëm: trajtimin e vetë kodeve të regjistruara të kategorive si largësi sasiore kuptimplota.

Fjala qelizë është e thjeshtë në një dizajn me një faktor, por mund të ngatërrohet më lehtë kur shtohet një faktor i dytë. Figura vijuese i mban dy strukturat krah për krah.

Dy panele krahasojnë qelizat e ANOVA-s. I pari tregon katër nivele të një faktori, ku çdo nivel formon një qelizë. I dyti tregon dy nivele të faktorit A të kryqëzuara me tri nivele të faktorit B, duke prodhuar një rrjet dy me tre me gjashtë qeliza, nga një për çdo kombinim të saktë nivelesh.
Figura 1: Në një dizajn njëfaktorial, çdo nivel i faktorit është një qelizë; në një dizajn faktorial, çdo kombinim i kryqëzuar nivelesh përcakton një qelizë më vete.

Lexoje panelin A nga e majta në të djathtë. Një faktor ka katër nivele dhe çdo nivel identifikon një grup rastesh, prandaj ka katër qeliza. Në panelin B, zgjidh një rresht nga faktori A dhe një kolonë nga faktori B. Kryqëzimi i tyre është një qelizë. Dy nivele të A të kryqëzuara me tri nivele të B krijojnë kështu \(2\times3=6\) qeliza.

Kutitë tregojnë pozicione në dizajn dhe jo vlera numerike të rezultatit. Një rast i vrojtuar i përket një qelize sipas niveleve të faktorëve të tij, ndërsa matjet e rezultatit brenda asaj qelize përmblidhen më vonë me mesataren e qelizës. Ngjyrat ndihmojnë t’i dallosh kolonat, por nuk kodojnë vlera më të larta ose më të ulëta. Diagrami gjithashtu nuk na tregon nëse dizajni është i balancuar. Balanca varet nga numri i rasteve që e zënë realisht secilën qelizë.

Balanca është veçori e dizajnit, jo kërkesë e ANOVA-s. ANOVA njëfaktoriale mund të përdorë grupe me madhësi të pabarabarta. Megjithatë, balanca i bën aritmetikën dhe interpretimin veçanërisht të qartë. Në dizajnet faktoriale, pabalanca ndikon edhe në mënyrën si ndahen efektet e ndryshme, prandaj analiza e zgjedhur duhet të dokumentohet me kujdes.

Njësia e vëzhgimit është rasti që kontribuon një rezultat në analizë. Në një studim mes grupeve, çdo person i përket vetëm një grupi dhe kontribuon një rezultat në atë krahasim. Identifikimi i njësisë na ndihmon të vendosim nëse rastet janë të pavarura.

Dizajni përcakton çfarë mund të përfundohet. Caktimi i rastësishëm do të thotë se rastet ndahen mes niveleve të faktorit përmes rastësisë. Kur caktimi i rastësishëm kryhet siç duhet në një eksperiment, diferencat mes grupeve mund të mbështesin një interpretim shkakësor për faktorin e manipuluar. Pa caktim të rastësishëm, ANOVA mund të përshkruajë përsëri diferencat mesatare, por nuk mund të vërtetojë vetë se faktori i shkaktoi ato.

Cili dizajn i ANOVA-s i përshtatet pyetjes?

Para se të llogaritësh diçka, bëj dy pyetje: Sa faktorë ka dhe a shfaqet i njëjti person në më shumë se një kusht? Përgjigjet e përcaktojnë dizajnin.

Tabela 3: Modeli i vrojtimeve përcakton se cila strukturë e ANOVA-s e paraqet pyetjen.
Dizajni Organizimi i vrojtimeve Çfarë zgjeron
Njëfaktorial mes grupeve Një faktor; persona të ndryshëm ndodhen në nivelet e tij Testin t për kampione të pavarura kur faktori ka dy nivele
Njëfaktorial me matje të përsëritura Një faktor; të njëjtët persona maten në të gjitha nivelet ose rastet Testin t për kampione të çiftuara kur faktori ka dy nivele
Shumëfaktorial mes grupeve Dy ose më shumë faktorë; persona të ndryshëm ndodhen në qelizat e kryqëzuara ANOVA-n njëfaktoriale, tani me efekte kryesore dhe ndërveprime
Shumëfaktorial me matje të përsëritura Dy ose më shumë faktorë brenda personit; të njëjtët persona japin vrojtime të lidhura në kombinimet e tyre ANOVA-n njëfaktoriale me matje të përsëritura, tani me disa efekte brenda personit dhe ndërveprime
Dizajn i përzier Të paktën një faktor mes grupeve dhe një faktor brenda personit Dallimet mes grupeve dhe ndryshimin brenda personit në një dizajn

Për shembull, matja një herë e tri grupeve të ndryshme është dizajn mes grupeve. Matja e të njëjtëve persona në tri raste është dizajn me matje të përsëritura. Matja e disa grupeve në disa raste është dizajn i përzier, sepse përkatësia në grup ndryshon mes personave, ndërsa rasti i matjes ndryshon brenda personit.

Këtu, dizajn i përzier përshkruan bashkimin e faktorëve mes personave dhe brenda personit. Më vonë, model i përzier me efekte fikse dhe të rastësishme përshkruan një model që përmban të dy llojet e efekteve. Këto ide takohen shpesh, por dy shprehjet u përgjigjen pyetjeve të ndryshme: e para përshkruan si u mblodhën vrojtimet, e dyta si paraqiten efektet.

Pyetja udhëzuese: Nëse një rresht i të dhënave i përket një personi, a mund të shfaqet me kuptim i njëjti person në një nivel tjetër të faktorit? Përgjigjja të tregon nëse ato rreshta mund të trajtohen si të pavarur.

Pse të mos kryhet çdo test i mundshëm t?

Me \(p\) grupe, ka

\[ \frac{p(p-1)}{2} \]

krahasime të ndryshme në çift. Katër grupe prodhojnë gjashtë çifte. Dhjetë grupe prodhojnë 45. Nëse çdo krahasim testohet në të njëjtin nivel të papërshtatur, rritet mundësia e të paktën një rezultati pozitiv të rremë në tërë familjen. Norma e gabimit për familjen e testeve është probabiliteti për të bërë të paktën një gabim të llojit I brenda atij grupi të përcaktuar përfundimesh.

Për \(m\) teste të pavarura, ku secili kryhet me probabilitetin \(\alpha\) të gabimit të llojit I, shkalla e saktë familjare e gabimit është

\[ \alpha_{\text{family}}=1-(1-\alpha)^m. \]

Fjala familje i referohet grupit të përfundimeve që trajtohen së bashku. Kushti i pavarësisë ka rëndësi sepse krahasimet në çift nga të njëjtat grupe shpesh ndajnë vëzhgime dhe prandaj janë të varura.

Një vijë në ngritje tregon se për teste të pavarura, secili i kryer në nivelin 0.05, probabiliteti i të paktën një gabimi të llojit I rritet nga 0.05 për një test në rreth 0.265 për gjashtë teste.
Figura 2: Nën pavarësi, testet e përsëritura të papërshtatura rrisin probabilitetin e të paktën një gabimi të llojit I në familje.

Boshti horizontal numëron sa teste të pavarura i përkasin familjes. Boshti vertikal jep mundësinë e të paktën një rezultati pozitiv të rremë kur të gjitha hipotezat zero përkatëse janë të vërteta. Pika e parë është 0.05 sepse kryhet një test në nivelin 0.05. Vija ngrihet me çdo mundësi shtesë për rezultat pozitiv të rremë dhe arrin rreth 0.265 te gjashtë teste. Lakorja nuk është rezultat i ANOVA-s dhe as shkalla e gabimit për çdo grup krahasimesh të varura. Ajo paraqet formulën e saktë të testeve të pavarura të shprehur më sipër.

ANOVA e përgjithshme e zëvendëson atë përmbledhje testesh të papërshtatura në çift me një test fillestar hipoteze. Nëse tregon një diferencë, mund të vijojnë krahasime të përqendruara me një strategji që i përshtatet pyetjes kërkimore.

Pyetja dhe hipotezat e ANOVA-s njëfaktoriale

Një ANOVA njëfaktoriale ka një faktor me \(p\) nivele. Le të jetë \(\mu_i\) mesatarja e popullatës në nivelin \(i\). Hipoteza zero është

\[ H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_p. \]

Hipoteza alternative është

\[ H_1:\text{të paktën dy mesatare të popullatës ndryshojnë}. \]

Hipoteza alternative nuk thotë se çdo mesatare ndryshon nga çdo mesatare tjetër. Gjithashtu nuk përcakton se cila diferencë ekziston. Për këtë arsye, një rezultat i përgjithshëm domethënës kërkon një fazë të dytë më të përqendruar para se të emërtohen grupe të veçanta.

Për vëzhgimin \(m\) në nivelin \(i\), shkruaje rezultatin si \(y_{im}\). Le të jetë \(n_i\) numri i rasteve në nivelin \(i\), \(N=\sum_i n_i\) numri i përgjithshëm i rasteve, \(\bar y_i\) mesatarja e kampionit në nivelin \(i\) dhe \(\bar y\) mesatarja e përgjithshme nëpër të gjitha rastet.

Këto madhësi na lejojnë ta përshkruajmë ndryshueshmërinë totale si dy devijime të lidhura.

Ndarja e shumës totale të katrorëve

Për çdo vëzhgim,

\[ y_{im}-\bar y = (\bar y_i-\bar y)+(y_{im}-\bar y_i). \]

Lexoje këtë barazi nga e majta në të djathtë:

  • \(y_{im}-\bar y\) është devijimi total i vëzhgimit nga mesatarja e përgjithshme;
  • \(\bar y_i-\bar y\) është devijimi i grupit të tij nga mesatarja e përgjithshme; dhe
  • \(y_{im}-\bar y_i\) është devijimi i vëzhgimit nga mesatarja e grupit të vet.

Të tre termat janë në të njëjtën shkallë të rezultatit. Diagrami vijues përdor një vrojtim qëllimisht të thjeshtë për të treguar si përshtaten largësitë e tyre vertikale para se të ngrihet ndonjë vlerë në katror.

Një diagram vertikal shënon mesataren e përgjithshme 60, mesataren e grupit 66 dhe vlerën e vrojtuar 70. Një shigjetë tregon devijimin total 10, një e dytë tregon përbërësin e faktorit 6 nga mesatarja e përgjithshme te mesatarja e grupit dhe një e tretë tregon përbërësin brenda grupit 4 nga mesatarja e grupit te vrojtimi.
Figura 3: Për një vrojtim, largësia totale nga mesatarja e përgjithshme është e barabartë me përbërësin e mesatares së grupit plus përbërësin e mbetur brenda grupit.

Fillo te mesatarja e përgjithshme 60. Kalimi te mesatarja 66 e grupit të këtij rasti mbulon 6 pikë. Ky është përbërësi i faktorit, sepse tregon ku ndodhet qendra e përshtatur e grupit ndaj qendrës së përgjithshme. Kalimi nga mesatarja e grupit te rezultati i vrojtuar 70 mbulon 4 pikët e mbetura. Ky është përbërësi brenda grupit, sepse tregon si ndryshon ky rast nga qendra e grupit të vet. Së bashku, shigjeta e gjelbër dhe ajo portokalli mbulojnë të njëjtën largësi si shigjeta blu totale: \(10=6+4\).

ANOVA e zbaton të njëjtën ndarje për çdo vrojtim. Pastaj i ngre largësitë në katror që devijimet pozitive dhe negative të mos anulohen dhe i mbledh ato për të gjitha rastet. Figura nuk nënkupton se çdo vrojtim ndodhet mbi të dyja mesataret ose se faktori e shkaktoi përbërësin prej gjashtë pikësh. Rastet e tjera mund të ndodhen nën cilëndo mesatare, ndërsa interpretimi shkakësor vazhdon të varet nga dizajni.

ANOVA i ngre në katror dhe i mbledh këto devijime. Shuma totale e katrorëve është

\[ SS_{\text{total}} = \sum_{i=1}^{p}\sum_{m=1}^{n_i}(y_{im}-\bar y)^2. \]

Shuma e katrorëve e faktorit, e quajtur edhe shuma e katrorëve mes grupeve, është

\[ SS_A = \sum_{i=1}^{p}n_i(\bar y_i-\bar y)^2. \]

Shumëzimi me \(n_i\) ka rëndësi sepse mesatarja e grupit përfaqëson çdo rast në atë grup.

Shuma e katrorëve e gabimit, e quajtur edhe shuma e katrorëve brenda grupeve, është

\[ SS_e = \sum_{i=1}^{p}\sum_{m=1}^{n_i}(y_{im}-\bar y_i)^2. \]

Ndarja e saktë është

\[ SS_{\text{total}}=SS_A+SS_e. \]

Këtu, gabimi nuk do të thotë se dikush ka bërë një gabim. Ai është ndryshueshmëria që nuk përfaqësohet nga mesataret e niveleve të faktorit në këtë model. Mund të përmbajë dallime individuale, ndryshueshmëri të matjes dhe çdo burim tjetër të pamodeluar.

Shumat e katrorëve rriten me numrin e vëzhgimeve dhe prandaj nuk mund të krahasohen drejtpërdrejt kur kanë numra të ndryshëm pjesësh të lira. Shkallët e lirisë japin hapin vijues.

Shkallët e lirisë, katrorët mesatarë dhe raporti F

Shkallët e lirisë për modelin njëfaktorial janë

\[ df_A=p-1,\qquad df_e=N-p,\qquad df_{\text{total}}=N-1. \]

Ato ndahen njësoj si shumat e katrorëve:

\[ df_{\text{total}}=df_A+df_e. \]

Shprehja shkallët e lirisë tregon sa pjesë informacioni mund të ndryshojnë lirisht pasi vendoset një kufizim. Përfytyro tre numra që duhet të japin shumën 5. Dy të parët mund t’i zgjedhësh lirisht, por i treti përcaktohet më pas në mënyrë që shuma të jetë 5. Prandaj, tre numrat kanë vetëm dy pjesë të lira, ose \(3-1\) shkallë lirie.

Numërimet e ANOVA-s ndjekin të njëjtën logjikë. Pasi mesatarja e përgjithshme fiksohet, vetëm \(N-1\) devijime totale mund të ndryshojnë lirisht. Pasi \(p\) mesataret e grupeve lidhen me atë mesatare të përgjithshme, mbeten vetëm \(p-1\) devijime të pavarura të mesatareve të grupeve. Brenda grupeve, vlerësimi i një mesatareje për çdo grup përdor \(p\) pjesë, duke lënë \(N-p\) shkallë lirie të rezidualeve.

Një katror mesatar është një shumë katrorësh e pjesëtuar me shkallët e saj të lirisë:

\[ MS_A=\frac{SS_A}{df_A}, \qquad MS_e=\frac{SS_e}{df_e}. \]

Statistika e testit të përgjithshëm është

\[ F=\frac{MS_A}{MS_e}. \]

Numëruesi përshkruan ndarjen e mesatareve të grupeve në raport me shkallët e tij të lirisë. Emëruesi përshkruan ndryshueshmërinë e mbetur brenda grupeve. Kur mesataret e popullatës janë të barabarta dhe kushtet e modelit vlejnë, të dy katrorët mesatarë vlerësojnë të njëjtën ndryshueshmëri gabimi dhe \(F\) priret të jetë afër 1. Vlerat më të mëdha tregojnë se mesataret e grupeve janë më të ndara sesa do të sugjeronte zakonisht ndryshueshmëria brenda grupeve.

Ky raport është intuita qendrore e ANOVA-s. Dy panelet vijuese i mbajnë të pandryshuara tri mesataret e grupeve dhe ndryshojnë vetëm sa shpërndahen vrojtimet brenda atyre grupeve.

Dy panele tregojnë tri grupe me mesatare të pandryshuara 50, 60 dhe 70. Breza të trashë vertikalë gjysmëtransparentë dhe pika individuale tregojnë shpërndarje të vogël brenda grupeve në panelin e parë dhe shpërndarje të madhe në të dytin. Secili panel shënon drejtpërdrejt katrorin mesatar të faktorit, katrorin mesatar të gabimit dhe raportin e tyre F. Rombet e bardha shënojnë mesataret e grupeve dhe një vijë e ndërprerë shënon mesataren e përgjithshme.
Figura 4: Katrori mesatar i faktorit mbetet 600 sepse mesataret e grupeve nuk ndryshojnë. Katrori mesatar i gabimit rritet kur vrojtimet shpërndahen më larg rreth atyre mesatareve, prandaj F bëhet më i vogël.

Në të dy panelet, rombet e bardha ndodhen te 50, 60 dhe 70, ndërsa vija e ndërprerë e mesatares së përgjithshme ndodhet te 60. Prandaj ndarja e lidhur me faktorin është e njëjtë. Secili panel e vërteton këtë numerikisht me \(MS_A=600.00\). Brezat e trashë gjysmëtransparentë dhe pikat tregojnë atë që ndryshon: largësitë vertikale nga vrojtimet te rombi i grupit të tyre.

Në panelin e majtë këto largësi janë të shkurtra, prandaj \(MS_e=2.28\) dhe \(F=263.62\). Në panelin e djathtë mesataret e grupeve nuk kanë lëvizur, por largësitë brenda grupeve janë shumë më të mëdha. Emëruesi rritet në \(MS_e=58.00\) dhe raporti zvogëlohet në \(F=10.34\). Kjo është e gjithë logjika pamore e \(F\): i njëjti sinjal në numërues duket më pak i veçantë kur rritet ndryshueshmëria e sfondit në emërues.

Numrat janë një krahasim i krijuar për të veçuar logjikën e raportit. Ata nuk japin evidencë për një popullatë reale dhe nuk përcaktojnë një kufi universal mes një \(F\) të madh dhe një \(F\) të vogël. Shpërndarja e referencës dhe dy shkallët e saj të lirisë nevojiten ende për të vendosur sa i pazakontë është një raport i vrojtuar nën \(H_0\).

Shpërndarja \(F\) përcaktohet nga dy shkallë lirie, \(df_A\) dhe \(df_e\). Vlera p është probabiliteti në bishtin e djathtë për një vlerë \(F\) të paktën po aq të madhe sa ajo e vëzhguar nën \(H_0\).

Tabela 4: Tabela e përgjithshme e ANOVA-s njëfaktoriale.
Burimi Shuma e katrorëve Shkallët e lirisë Katrori mesatar F
Faktori A \(SS_A\) \(p-1\) \(SS_A/(p-1)\) \(MS_A/MS_e\)
Gabimi \(SS_e\) \(N-p\) \(SS_e/(N-p)\)
Totali \(SS_{\text{total}}\) \(N-1\)

Rreshtat tregojnë ku caktohet ndryshueshmëria në këtë model. Rreshti i faktorit mat ndarjen mes mesatareve të përshtatura të grupeve. Rreshti i gabimit mat devijimet e rasteve rreth atyre mesatareve të përshtatura. Rreshti total shënon tërë ndryshueshmërinë e rezultatit rreth mesatares së përgjithshme. Lexoje rreshtin e faktorit për ta rindërtuar testin: pjesëtoje shumën e tij të katrorëve me shkallët e lirisë për të marrë \(MS_A\), pastaj pjesëtoje me \(MS_e\) nga rreshti i gabimit për të marrë \(F\). Qelizat bosh janë të qëllimshme, sepse rreshti i gabimit dhe ai total nuk marrin secili një statistikë të veçantë të përgjithshme \(F\) në këtë tabelë.

Një rezultat domethënës \(F\) e hedh poshtë barazinë e të gjitha mesatareve të popullatës. Ende nuk tregon cilat mesatare ndryshojnë, nëse diferencat kanë rëndësi praktike ose nëse faktori i shkaktoi ato.

Kërkesat e dizajnit dhe supozimet e modelit

Për modelin njëfaktorial të zhvilluar këtu, nivelet e faktorit zgjidhen qëllimisht sepse pikërisht ato kushte janë në qendër. Ky quhet faktor fiks. Çdo vëzhgim mund të shkruhet si

\[ y_{im}=\mu_i+\varepsilon_{im}, \]

ku \(\varepsilon_{im}\) është devijimi i rastit nga mesatarja e grupit të tij në popullatë. Ky model kërkon:

  1. Raste të pavarura. Gabimi i një rasti nuk duhet ta përcaktojë gabimin e një rasti tjetër. Caktimi i rastësishëm e mbështet këtë strukturë në një eksperiment mes grupeve, por procesi i rekrutimit dhe ndarjes ende duhet të shqyrtohet.
  2. Një rezultat sasior dhe një faktor kategorik. Mesataret dhe devijimet brenda grupeve duhet të përputhen me rolet e matjes.
  3. Variancë homogjene të gabimit. Supozohet se varianca e gabimit në popullatë është e barabartë nëpër nivelet e faktorit. Një rezidual i kampionit është rezultati i vëzhguar minus mesatarja e përshtatur e grupit të tij. Grafiku i rezidualeve kundrejt vlerave të përshtatura mund të zbulojë dallime të dukshme në shpërndarjen e rezidualeve.
  4. Gabime me shpërndarje normale brenda niveleve. Një grafik Q-Q mund të zbulojë largime të qarta. Supozimi ka të bëjë me gabimet e modelit, jo me etiketat e faktorit.
  5. Mungesë të vëzhgimeve ndikuese të patrajtuara. Tema 5 e shpjegoi vëzhgimin ndikues si një rast, prania e të cilit e ndryshon dukshëm një rezultat të rëndësishëm të përshtatur. Këtu, një vlerë e pazakontë mund të ndikojë në mesataren e grupit, shumën e katrorëve brenda grupit dhe raportin \(F\).
  6. Një dizajn që përputhet me përfundimin. Caktimi i rastësishëm, rezultatet që mungojnë, largimet nga procedura e planifikuar e studimit dhe madhësitë e pabarabarta të grupeve duhet të raportohen ndershmërisht.

Grafikët diagnostikues nuk i vërtetojnë supozimet. Ata ndihmojnë në identifikimin e modeleve që bien ndesh me modelin. Mos e fshi kurrë një vëzhgim të papërshtatshëm vetëm sepse heqja e tij e bën \(F\) më të madh.

Matjet e përsëritura te i njëjti person nuk janë raste të pavarura. Ato kërkojnë strukturën e matjeve të përsëritura që trajtohet më poshtë në këtë temë.

Kontrastet e planifikuara dhe krahasimet post hoc

Një rezultat i përgjithshëm tregon se diku ekziston një diferencë. Një kontrast e shndërron një krahasim të përqendruar mesataresh në një shumë të peshuar:

\[ D=\sum_{i=1}^{p}c_i\bar y_i, \qquad \sum_{i=1}^{p}c_i=0. \]

Numrat \(c_i\) janë peshat e kontrastit. Peshat pozitive dhe negative i vendosin nivelet në anë të kundërta të krahasimit. Shumëzimi i çdo peshe me të njëjtën konstante të ndryshme nga zeroja e ndryshon shkallën e \(D\), por jo krahasimin përmbajtësor.

Një kontrast i thjeshtë krahason dy nivele, prandaj vetëm dy pesha janë të ndryshme nga zeroja. Një kontrast kompleks bashkon më shumë se dy nivele, si krahasimi i mesatares së disa kushteve aktive me një referencë. Peshat mund të kodojnë edhe një model të renditur të përcaktuar paraprakisht kur ajo prirje është hipoteza shkencore.

Një kontrast i planifikuar përcaktohet nga pyetja kërkimore para se të shqyrtohen rezultatet. Një krahasim post hoc zgjidhet pas analizës së përgjithshme ose pas shqyrtimit të të dhënave. Post hoc nuk do të thotë i pavlefshëm, por përzgjedhja duhet të përshkruhet ndershmërisht. Duhet të trajtohet edhe shumëfishësia e tij, pra rreziku shtesë i rezultateve pozitive të rreme që krijohet kur nxirren disa përfundime të lidhura.

Tri diagrame tregojnë një kontrast të planifikuar e të peshuar në katër nivele, të gjashtë lidhjet në çift për një familje Tukey dhe tri lidhje nga një nivel referues për një familje Dunnett.
Figura 5: Procedura e krahasimit duhet t’i përshtatet pyetjes: një kontrast i peshuar i përcaktuar paraprakisht, çdo çift ose çdo nivel aktiv kundrejt një reference.
  • Në panelin e majtë, një model peshash i përcaktuar paraprakisht i ndan katër nivelet në krahasimin e saktë që studiuesi dëshiron të testojë.
  • Në panelin e mesit, çdo nivel lidhet me çdo nivel tjetër. Me katër nivele, ato gjashtë lidhje formojnë familjen Tukey të të gjitha çifteve.
  • Në panelin e djathtë, tri lidhje nisen nga një nivel referues. Kjo është familja më e përqendruar Dunnett.

Panelet përmbajnë të njëjtat katër nivele të faktorit, por u përgjigjen pyetjeve të ndryshme. Prandaj, zgjedhja mes tyre është pjesë e përcaktimit të pohimit shkencor, jo një zgjedhje teknike e bërë pasi kërkohet vlera p më e vogël.

  • Procedura e diferencës sinqerisht domethënëse të Tukey-t trajton çdo krahasim të grupeve në çift duke kontrolluar gabimin familjar për atë familje të të gjitha çifteve.
  • Procedura e Dunnett-it trajton secilin nivel të zgjedhur kundrejt një niveli referues dhe nuk shpenzon mbrojtjen ndaj shumëfishësisë për krahasime që pyetja nuk i kërkon.
  • Një kontrast linear i planifikuar mund të krahasojë dy nivele, grupe të bashkuara nivelesh ose një model të përcaktuar teorikisht përmes peshave të tij.

Për një dizajn njëfaktorial të balancuar me \(n\) raste për nivel, testi i kontrastit që përdorim këtu ka formën

\[ SS_D=\frac{nD^2}{\sum_i c_i^2}, \qquad F_D=\frac{SS_D}{MS_e}, \]

me 1 shkallë lirie të numëruesit dhe \(df_e\) shkallë lirie të emëruesit. Disa kontraste të planifikuara formojnë ende një familje kur mbështesin një grup të lidhur pohimesh, prandaj vetëm planifikimi nuk e zhduk shumëfishësinë.

Norma e gabimit për familjen e testeve, Sidak dhe Bonferroni

Norma e gabimit për test është probabiliteti i gabimit të llojit I për një krahasim. Norma e gabimit për familjen e testeve, e shkurtuar FWER, është probabiliteti i të paktën një gabimi të llojit I në familjen e përcaktuar.

Për \(m\) teste që janë reciprokisht të pavarura, zgjidhja e ekuacionit të saktë familjar për nivelin e secilit test jep pragun Sidak:

\[ \alpha_{\text{test}} = 1-(1-\alpha_{\text{family}})^{1/m}. \]

Kjo barazi është e saktë nën pavarësi. Në modelin e balancuar me gabime normale që përdoret këtu, vlerësimet e kontrasteve ortogonale dhe shumat e katrorëve të numëruesve të tyre janë të pavarura. Vektorët e peshave janë ortogonalë kur shuma e prodhimeve të peshave përkatëse është zero. Megjithatë, statistikat e testeve mund të ndajnë të njëjtin katror mesatar të vlerësuar të gabimit në emëruesit e tyre, prandaj vetëm ortogonaliteti nuk garanton se vetë testet janë reciprokisht të pavarura. Barazia e saktë Sidak duhet të përdoret vetëm kur pavarësia e testeve është arsyetuar.

Pragu Bonferroni është

\[ \alpha_{\text{test}}=\frac{\alpha_{\text{family}}}{m}. \]

Bonferroni e kontrollon gabimin familjar në një nivel jo më të lartë se niveli i zgjedhur pa kërkuar që testet të jenë të pavarura. Shpesh është konservativ, që do të thotë se gabimi i vërtetë familjar mund të jetë më i ulët se kufiri dhe fuqia mund të zvogëlohet.

Tabela 5: Norma e gabimit për familjen e testeve dhe pragjet për test për një nivel familjar të synuar prej 0.05.
Numri i krahasimeve FWER e papërshtatur nëse janë të pavarura Alfa Sidak për test nëse janë të pavarura Alfa Bonferroni për test
1 0.0500 0.0500 0.0500
2 0.0975 0.0253 0.0250
3 0.1426 0.0170 0.0167
4 0.1855 0.0127 0.0125
5 0.2262 0.0102 0.0100
6 0.2649 0.0085 0.0083

Kolona e parë numerike tregon rrezikun familjar të papërshtatur nën pavarësi dhe prandaj rritet me numrin e krahasimeve. Kolonat Sidak dhe Bonferroni i përgjigjen pyetjes së kundërt: sa i vogël duhet të bëhet pragu i secilit test që e gjithë familja të mbahet afër ose nën 0.05? Të dy pragjet zvogëlohen ndërsa familja rritet. Sidak përdor ekuacionin e saktë të testeve të pavarura. Bonferroni përdor rregullin e thjeshtë të pjesëtimit dhe është pak më i rreptë në rreshtat e paraqitur.

Për gjashtë teste të pavarura, rreziku familjar i papërshtatur është 0.2649, jo 0.05. Për të synuar nivel familjar 0.05, pragu Sidak i paraqitur është 0.0085 për test kur pavarësia arsyetohet. Pragu Bonferroni është 0.0083 dhe kontrollon kufirin familjar pa atë kërkesë për pavarësi. Një rezultat me vlerë p të papërshtatur 0.03 mund ta kalojë një test të vetëm në nivelin 0.05, por jo asnjërin prag për gjashtë teste. Procedurat e mbrojnë grupin e pohimeve duke kërkuar dëshmi më të forta nga secili anëtar i një familjeje më të madhe.

Asnjëra metodë nuk e rregullon një familje të përcaktuar pasi kërkohen rezultate tërheqëse. Numri \(m\) duhet të përfaqësojë familjen shkencore të krahasimeve dhe ajo familje duhet të raportohet. Shumëfishësia është pjesë e interpretimit shkencor, sepse tregon sa mundësi të lidhura për rezultat pozitiv të rremë krijon analiza.

Përcaktoje familjen nga pohimet shkencore, jo nga rezultatet që rastësisht duken premtuese. Disa krahasime të zgjedhura para se të shihen rezultatet japin dëshmi më të forta për hipoteza të fiksuara paraprakisht sesa të njëjtat krahasime të zgjedhura më pas dhe të përshkruara sikur të ishin planifikuar.

ANOVA faktoriale: Qelizat, mesataret margjinale dhe ndërveprimet

Një ANOVA faktoriale përmban dy ose më shumë faktorë. Me faktorin A dhe faktorin B, çdo kombinim i një niveli A me një nivel B është një qelizë. Një model me dy faktorë fiksë ndan tri pyetje:

  • efekti kryesor i A-së krahason mesataret margjinale të A-së, duke marrë mesataren nëpër nivelet e B-së;
  • efekti kryesor i B-së krahason mesataret margjinale të B-së, duke marrë mesataren nëpër nivelet e A-së; dhe
  • ndërveprimi A me B pyet nëse modeli përgjatë A-së ndryshon me nivelin e B-së.

Një mesatare margjinale është mesatarja nëpër qelizat që i përkasin një niveli të faktorit. Një mesatare qelize i përket një kombinimi të saktë nivelesh.

Numri i qelizave është prodhimi i numrave të niveleve. Një faktor me dy nivele i kryqëzuar me një faktor me tri nivele krijon \(2\times3=6\) qeliza. Prandaj, shtimi i faktorëve mund ta rrisë shpejt numrin e nevojshëm të grupeve. Dizajni duhet të ketë mjaft vëzhgime në qelizat që krijohen për të vlerësuar modelet për të cilat pyet.

Për dy faktorë fiksë, paraqitja e efekteve është

\[ y_{ijm} = \mu+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij}+\varepsilon_{ijm}. \]

Këtu, \(\mu\) është mesatarja e përgjithshme, \(\alpha_i\) përfaqëson efektin për nivelin \(i\) të faktorit A, \(\beta_j\) përfaqëson efektin për nivelin \(j\) të faktorit B, \((\alpha\beta)_{ij}\) përfaqëson ndërveprimin e tyre në atë qelizë dhe \(\varepsilon_{ijm}\) është gabimi individual. Tri hipotezat zero të përgjithshme i vendosin përkatësisht të gjithë \(\alpha_i\) në zero, të gjithë \(\beta_j\) në zero ose çdo term ndërveprimi \((\alpha\beta)_{ij}\) në zero.

Termat e efekteve kërkojnë një pikë reference që i njëjti grup mesataresh të qelizave të mos mund të shkruhet në pafund mënyra të barasvlershme. Në këtë paraqitje të efekteve, kufizimet e zakonshme identifikuese janë

\[ \sum_i\alpha_i=0, \qquad \sum_j\beta_j=0, \]

dhe, për ndërveprimin,

\[ \sum_i(\alpha\beta)_{ij}=0\ \text{për çdo }j, \qquad \sum_j(\alpha\beta)_{ij}=0\ \text{për çdo }i. \]

Këto kufizime nuk thonë se efektet janë zhdukur. Ato përcaktojnë pikën zero të termave të efekteve. Me to, \(\mu\) është mesatarja e përgjithshme, secili \(\alpha_i\) është shmangia e nivelit \(i\) të A-së nga ajo mesatare pasi merret mesatarja nëpër B, secili \(\beta_j\) është shmangia përkatëse për B-në dhe ndërveprimi është pjesa e veçantë e qelizës që mbetet pasi përfaqësohen të dyja pjesët mbledhëse të efekteve kryesore.

Gjashtë grafikë të mesatareve të qelizave tregojnë mungesë efektesh, vetëm efektin kryesor të A-së, vetëm efektin kryesor të B-së, dy efekte kryesore mbledhëse, një ndërveprim pa kryqëzim dhe një ndërveprim me kryqëzim e mesatare margjinale të barabarta.
Figura 6: Vijat paralele paraqesin modele mbledhëse; vijat joparalele paraqesin ndërveprime. Kryqëzimi është një formë e mundshme e ndërveprimit, jo kusht.

Lexoji gjashtë panelet në tri kalime. Së pari pyet nëse lartësia mesatare ndryshon nga A1 në A2. Ky është efekti kryesor i A-së. Pastaj pyet nëse njëra vijë me ngjyrë qëndron mesatarisht më lart se tjetra. Ky është efekti kryesor i B-së. Në fund pyet nëse dy vijat janë paralele. Ndryshimi i largësisë ose drejtimit të tyre është ndërveprimi.

  1. Pa efekte kryesore ose ndërveprim. Të dyja vijat janë të sheshta dhe mbivendosen. Çdo mesatare qelize është 55, prandaj asnjëri faktor nuk e ndryshon mesataren e përshtatur.
  2. Vetëm efekti kryesor i A-së. Vijat mbivendosen, por ngrihen së bashku nga A1 në A2. Marrja e mesatares nëpër B e ruan diferencën e A-së, ndërsa mesataret margjinale të B-së janë të barabarta.
  3. Vetëm efekti kryesor i B-së. Vijat janë të sheshta, por të ndara vertikalisht. Marrja e mesatares nëpër A e ruan diferencën e B-së, ndërsa mesataret margjinale të A-së janë të barabarta.
  4. Të dy efektet kryesore pa ndërveprim. Të dyja vijat ngrihen me të njëjtën madhësi dhe ruajnë të njëjtën largësi. A dhe B kanë secila diferencë margjinale, por kontributet e tyre janë mbledhëse: ndryshimi i A-së është i njëjtë te B1 dhe B2.
  5. Ndërveprim pa kryqëzim. Të dyja vijat ngrihen, por njëra ngrihet shumë më fort. Efektet kryesore mund të mbeten, megjithatë efekti i A-së nuk është i njëjtë nëpër B. Ky panel është i rëndësishëm sepse ndërveprimi nuk kërkon kryqëzim vijash.
  6. Ndërveprim me kryqëzim dhe mesatare margjinale të barabarta. Njëra vijë ngrihet, ndërsa tjetra bie me të njëjtën madhësi. Të gjitha mesataret margjinale të paraqitura janë 55, prandaj të dy efektet kryesore zhduken megjithëse përmbysja në nivel qelize është e fortë.

Pyetja udhëzuese: Cilën nga këto histori do ta humbisje po të përmblidhje vetëm mesataret margjinale?

Tabela 6: Mesataret margjinale për gjashtë modelet e ndërtuara të mesatareve të qelizave.
Modeli Margjinalja A1 Margjinalja A2 Margjinalja B1 Margjinalja B2
Pa efekte kryesore ose ndërveprim 55.0 55.0 55.0 55.0
Vetëm efekti kryesor i A-së 50.0 65.0 57.5 57.5
Vetëm efekti kryesor i B-së 57.5 57.5 50.0 65.0
Të dy efektet kryesore, pa ndërveprim 50.0 65.0 52.5 62.5
Ndërveprim pa kryqëzim 52.5 66.5 54.0 65.0
Ndërveprim me kryqëzim, mesatare margjinale të barabarta 55.0 55.0 55.0 55.0

Në panelin kryqëzues, çdo mesatare margjinale është 55, megjithatë modeli i qelizave ndryshon plotësisht përgjatë faktorit tjetër. Për këtë arsye, ndërveprimi duhet të shqyrtohet drejtpërdrejt. Kur ka ndërveprim, efekti kryesor është vetëm një mesatare e një modeli që mund të ndryshojë fort mes qelizave.

Tabela e mesatareve margjinale verifikon atë që figura mund ta fshehë. Krahaso katër rreshtat e parë për të parë si krijojnë ose heqin efekte kryesore vijat e sheshta, ndarja vertikale dhe pjerrësitë e barabarta, pa ndërveprim. Pastaj krahaso dy rreshtat e fundit. Modeli pa kryqëzim ruan diferenca margjinale megjithëse pjerrësitë ndryshojnë. Modeli me kryqëzim ka katër mesatare margjinale prej 55, prandaj asnjëri grup margjinal nuk e zbulon përmbysjen. Figura të mbron nga mbështetja e tepërt te mesataret, ndërsa tabela vërteton numerikisht se ndërveprimi dhe efektet kryesore u përgjigjen pyetjeve të ndara.

Tabela e ANOVA-s faktoriale përmban rreshta të veçantë për A, B dhe \(A\times B\), secili me shumën e vet të katrorëve, shkallët e lirisë, katrorin mesatar dhe raportin \(F\) kundrejt termit të shënuar të gabimit. Llogaritjet e hollësishme për dizajnet e pabalancuara dhe dizajnet që bashkojnë faktorë fiksë e të rastësishëm kërkojnë zgjedhje të qarta modeli dhe shkojnë përtej kësaj hyrjeje të përmbledhur.

Faktorët fiksë, faktorët e rastësishëm dhe përbërësit e variancës

Një faktor fiks ka nivele të zgjedhura qëllimisht sepse pikërisht ato kushte janë në qendër. Hipoteza e tij lidhet me mesataret përkatëse të popullatës ose efektet fikse.

Një faktor i rastësishëm ka nivele të vëzhguara të kampionuara përmes një procesi të rastësishëm nga një popullatë më e gjerë nivelesh të mundshme. Qëllimi nuk është renditja e niveleve të veçanta të kampionuara. Është madhësia e ndryshueshmërisë së rezultatit që lidhet me dallimet mes niveleve në atë popullatë. Një përbërës i variancës është pjesa e variancës totale të modelit që i caktohet një burimi të rastësishëm, si dallimet mes niveleve të kampionuara.

Tabela 7: Faktorët fiksë dhe të rastësishëm u përgjigjen pyetjeve të ndryshme për popullatën.
Veçoria Faktori fiks Faktori i rastësishëm
Si merren nivelet? Zgjidhen sepse ato kushte kanë rëndësi përmbajtësore Kampionohen për të përfaqësuar një popullatë më të gjerë nivelesh të mundshme
Qëllimi kryesor Diferencat mes mesatareve të zgjedhura të popullatës Përbërësi i variancës mes niveleve \(\sigma_A^2\)
Hipoteza zero njëfaktoriale Të gjitha mesataret e niveleve të zgjedhura janë të barabarta \(H_0:\sigma_A^2=0\)
Përsëritja e studimit Të njëjtat nivele të projektuara mbeten me rëndësi Mund të merret një kampion i ri i rastësishëm nivelesh

Dallimi lidhet me popullatën e synuar, jo me faktin nëse etiketat e vëzhguara duken të fiksuara në faqe. Nëse kushtet e sakta të zgjedhura janë në qendër të pyetjes shkencore, krahasoji mesataret e tyre si nivele fikse. Nëse nivelet e vëzhguara u kampionuan për të përfaqësuar një popullatë më të gjerë nivelesh të mundshme, vlerëso sa ndryshojnë rezultatet nëpër atë popullatë. Përsëritja e studimit e qartëson dallimin: studimi me faktor fiks i ruan nivelet e synuara, ndërsa studimi me faktor të rastësishëm mund të kampionojë nivele të reja.

Prandaj, i njëjti lloj etikete mund të jetë fiks në një pyetje dhe i rastësishëm në një tjetër. Mendo një studim që mat rezultate te pesë mësues. Nëse pikërisht këta pesë mësues me emër u zgjodhën qëllimisht dhe pyetja lidhet me diferencat e tyre të sakta mesatare, faktori mësues është fiks. Nëse pesë mësuesit u kampionuan rastësisht dhe pyetja lidhet me ndryshueshmërinë në popullatën më të gjerë të mësuesve, faktori është i rastësishëm. Kolona në të dhëna mund të duket e njëjtë në të dy studimet, edhe pse ndryshojnë procesi i kampionimit dhe synimi i përfundimit.

Përdor tri kontrolle para se ta zgjedhësh rolin:

  1. A u zgjodhën pikërisht këto nivele sepse secili ka rëndësi, apo u kampionuan për të përfaqësuar shumë nivele të mundshme?
  2. Nëse studimi përsëritet, a duhet të përdoren të njëjtat nivele apo të kampionohen nivele të reja?
  3. A lidhet përfundimi me diferenca mesatare të niveleve me emër apo me ndryshueshmërinë nëpër një popullatë nivelesh?

Pyetja udhëzuese: Po përpiqesh të krahasosh nivelet që mund t’i emërtosh, apo të mësosh sa ndryshojnë rezultatet nëpër nivele që mund t’i kishe kampionuar?

Modeli njëfaktorial i balancuar me faktor të rastësishëm është

\[ y_{im}=\mu+\alpha_i+\varepsilon_{im}, \]

me efekte të rastësishme të niveleve \(\alpha_i\) të qendërzuara në zero, që do të thotë se mesatarja e tyre në popullatë është zero, dhe gabime të rastësishme \(\varepsilon_{im}\) të qendërzuara në zero në të njëjtin kuptim. Dy përbërësit e rastësishëm janë të pavarur. Ky model supozon gjithashtu shpërndarje normale për të dy përbërësit.

Për një model njëfaktorial të balancuar me faktor të rastësishëm dhe \(n\) vëzhgime në çdo nivel, vlerësojmë

\[ \widehat{\sigma}_A^2=\frac{MS_A-MS_e}{n}, \qquad \widehat{\sigma}_e^2=MS_e. \]

Koeficienti i korrelacionit brenda klasës, ose ICC, është

\[ ICC = \frac{\widehat{\sigma}_A^2} {\widehat{\sigma}_A^2+\widehat{\sigma}_e^2}. \]

Ai përshkruan pjesën e variancës së modelit që lidhet me faktorin e rastësishëm. Në mënyrë të barasvlershme, përshkruan sa të ngjashme priren të jenë vëzhgimet kur i përkasin të njëjtit nivel të kampionuar. ICC-ja ka rëndësi sepse pavarësia bëhet e pabesueshme kur vrojtimet brenda të njëjtit nivel ngjajnë fort. Ajo e kthen atë grupim në një madhësi numerike, në vend që ta lërë vetëm si përshtypje pamore.

Dy grafikë me pika tregojnë pesë nivele të faktorit të rastësishëm. Në panelin me ngjashmëri të ulët, vlerat mbivendosen fort mes niveleve. Në panelin me ngjashmëri të lartë, vlerat janë afër brenda secilit nivel dhe të ndara mes niveleve. Një etiketë në panelin me ngjashmëri të lartë raporton katrorin mesatar mes niveleve, katrorin mesatar brenda niveleve dhe ICC-në e llogaritur.
Figura 7: Një ICC më i madh në modelin njëfaktorial me faktor të rastësishëm i përgjigjet ngjashmërisë më të ngushtë brenda niveleve dhe ndarjes më të qartë mes tyre. Paneli me ngjashmëri të lartë paraqet edhe madhësitë e përdorura në llogaritjen e ICC-së.

Në panelin me ngjashmëri të ulët, vlerat nga pesë nivelet mbivendosen shumë. Njohja e nivelit të një rasti na tregon pak për rezultatin e tij, prandaj përbërësi mes niveleve është i vogël në raport me ndryshueshmërinë brenda niveleve. Në panelin me ngjashmëri të lartë, pikat grumbullohen ngushtë brenda secilit nivel dhe grupimet e niveleve gjenden më larg njëra-tjetrës. Atëherë rastet që ndajnë një nivel janë më të ngjashme, pikërisht modeli që përfaqësohet nga një ICC më i madh.

Tani llogarit ICC-në për panelin me ngjashmëri të lartë në vend që ta gjykosh vetëm me sy. Secili nga pesë nivelet e faktorit të rastësishëm përmban \(n=5\) vrojtime të ndërtuara.

Tabela 8: Llogaritja numerike e ICC-së njëfaktoriale me faktor të rastësishëm për panelin me ngjashmëri të lartë.
Madhësia Vlera
Vrojtimet për nivel të faktorit të rastësishëm 5
Mesatarja e katrorëve ndërmjet niveleve, MSₐ 784.160
Mesatarja e katrorëve brenda niveleve, MSₑ 0.700
Varianca e vlerësuar ndërmjet niveleve 156.692
Varianca e vlerësuar e gabimit brenda niveleve 0.700
ICC e vlerësuar 0.996

Katrori mesatar mes niveleve, \(MS_A=784.160\), është i madh sepse pesë mesataret e niveleve janë larg njëra-tjetrës. Katrori mesatar brenda niveleve, \(MS_e=0.700\), është i vogël sepse vrojtimet që ndajnë një nivel ndodhen afër njëri-tjetrit. Zëvendësimi jep

\[ \widehat{\sigma}_A^2 = \frac{784.160- 0.700} {5} = 156.692, \]

ndërsa \(\widehat{\sigma}_e^2=MS_e=0.700\). Prandaj,

\[ ICC = \frac{156.692} {156.692+ 0.700} = 0.996. \]

Kjo vlerë është afër 1 sepse pjesa më e madhe e variancës së modelit në këtë panel të ndërtuar lidhet me nivelin e faktorit të rastësishëm ku bën pjesë vrojtimi. Nuk do të thotë se 99.6% e rezultateve individuale parashikohen saktë. Ajo përshkruan grupimin sipas këtij modeli njëfaktorial të balancuar me faktor të rastësishëm.

Formula njëfaktoriale e ICC-së më sipër i përket këtij rasti të balancuar njëfaktorial me faktor të rastësishëm. Nuk duhet të trajtohet si një formulë universale e ICC-së për çdo situatë me vëzhgime të përsëritura ose të grupuara.

Kur dy faktorë kanë role fikse dhe të rastësishme

Me dy faktorë, roli i secilit faktor duhet të shprehet para se të ndërtohen testet \(F\).

Tabela 9: ANOVA me dy faktorë i ndryshon pyetjet për popullatën kur ndryshojnë rolet e faktorëve.
Lloji i modelit që përdoret këtu Rolet e faktorëve Qëllimet kryesore të inferencës
Modeli I Të dy faktorët fiksë Diferencat mesatare për A, diferencat mesatare për B dhe ndërveprimi i tyre fiks
Modeli II Të dy faktorët të rastësishëm Përbërësit e variancës për A, B dhe ndërveprimin e tyre të rastësishëm
Modeli III Një faktor fiks dhe një i rastësishëm Një model fiks i mesatareve plus përbërës të variancës për faktorin e rastësishëm dhe ndërveprimin e rastësishëm

Këto modele mund të përdorin katrorë mesatarë të ndryshëm në emëruesit e raporteve të tyre \(F\). Prandaj, zakoni i zakonshëm i efekteve fikse për ta pjesëtuar çdo katror mesatar të faktorit me \(MS_e\) nuk është rregull universal pasi përfshihen faktorët e rastësishëm. Programit statistikor duhet t’i tregohet cilët faktorë janë fiksë dhe cilët të rastësishëm. Nxjerrjet e hollësishme të emëruesve shkojnë përtej kësaj hyrjeje, por vetë vendimi për dizajnin nuk është opsional.

ANOVA me matje të përsëritura dhe varësia brenda personit

Një ANOVA mes grupeve cakton persona të ndryshëm në nivele të ndryshme. Një ANOVA me matje të përsëritura regjistron të njëjtët persona në disa nivele ose raste matjeje. Matjet e një personi lidhen sepse ndajnë karakteristikat bazë të atij personi. Trajtimi i tyre si të pavarura do ta shpërfillte informacionin e ndërtuar në dizajn.

Tabela 10: ANOVA me matje të përsëritura duhet t’i ruajë lidhjet mes vëzhgimeve të të njëjtit person.
Dizajni Kush i jep nivelet? Struktura e varësisë Ndryshueshmëria që modeli duhet të përfaqësojë
Mes grupeve Persona të ndryshëm zënë nivele të ndryshme Rastet janë të pavarura nëpër njësitë e synuara Dallimet mes grupeve dhe dallimet brenda grupeve
Matje të përsëritura Të njëjtët persona shfaqen në disa nivele ose raste matjeje Matjet lidhen brenda secilit person Dallimet mes kushteve, dallimet e qëndrueshme mes personave dhe ndryshueshmëria e mbetur brenda personit

Modeli njëfaktorial me matje të përsëritura që përdoret këtu është

\[ y_{im}=\mu+\alpha_i+\pi_m+\varepsilon_{im}, \]

ku \(\alpha_i\) është efekti fiks i rastit të matjes ose kushtit dhe \(\pi_m\) është efekti i rastësishëm i personit. Termi i personit i ndan dallimet e qëndrueshme mes personave nga ndryshimi brenda personit.

Një grafik me vija ndjek 12 pjesëmarrës të ndërtuar përgjatë tri rasteve të matjes. Çdo vijë blu lidh vlerat e një personi dhe një vijë më e trashë portokalli lidh mesataret e rasteve të matjes.
Figura 8: Vëzhgimet e përsëritura lidhen brenda personave, prandaj analiza duhet të përfaqësojë si dallimet mes rasteve të matjes, ashtu edhe dallimet mes personave.

Çdo vijë e hollë blu i përket një personi të ndërtuar. Pozicioni i saj vertikal tregon se personat mund të fillojnë në nivele të ndryshme të rezultatit, ndërsa lëvizja e saj përgjatë rasteve të matjes tregon se edhe ndryshimi brenda personit mund të dallojë. Vija e trashë portokalli lidh mesataret e rasteve të matjes dhe përmbledh modelin mesatar. Një analizë që përdor vetëm atë vijë portokalli do ta shpërfillte strukturën mes personave që shihet poshtë saj.

Çfarë ndryshon saktësisht kur përfshihet termi i personit? Krahasimi vijues i përshtat të njëjtat 36 matje të ndërtuara në dy mënyra. Versioni me matje të përsëritura përfshin si rastin e matjes, ashtu edhe personin. Versioni krahasues i pasaktë përfshin rastin e matjes, por e shpërfill personin, prandaj i trajton dallimet e qëndrueshme fillestare si pjesë të rezidualit të vet të pandarë.

Tabela 11: I njëjti krahasim i rasteve të matjes me dhe pa termin e personit.
Analiza SS e rastit të matjes df e rastit të matjes MS e rastit të matjes SS e gabimit df e gabimit MS e gabimit F për rastin e matjes
Termi i personit i përfshirë 125.705 2 62.853 95.195 22 4.327 14.525
Termi i personit i shpërfillur 125.705 2 62.853 631.973 33 19.151 3.282
Dy panele me shtylla krahasojnë një analizë që përfshin termin e personit me një analizë që e shpërfill atë. Përfshirja e personit jep katror mesatar më të vogël të gabimit dhe raport F më të madh për rastin e matjes, sepse dallimet e qëndrueshme mes personave ndahen nga gabimi brenda personit.
Figura 9: Përfaqësimi i dallimeve fillestare mes personave e ndryshon emëruesin e gabimit që përdoret për të vlerësuar rastin e matjes, megjithëse shuma e katrorëve e rastit të matjes nuk ndryshon në këtë shembull të balancuar.

Shuma e katrorëve e rastit të matjes është 125.705 në të dy rreshtat. Kjo pritet në këtë ndërtim të balancuar: tri mesataret e rasteve të matjes dhe largësia mes tyre janë të njëjta, pavarësisht se cili emërues përdoret më pas. Dallimi shfaqet te ajo që llogaritet si gabim.

Me termin e personit, ndryshueshmëria organizohet si

\[ SS_{\text{total}} =SS_{\text{occasion}}+SS_{\text{person}}+SS_e. \]

Dallimet vertikale të qëndrueshme mes vijave blu të personave marrin përbërësin e tyre \(SS_{\text{person}}\). \(MS_e=4.327\) që mbetet përshkruan ndryshueshmërinë pasi janë përfaqësuar si rasti i matjes, ashtu edhe personi. Statistika e rastit të matjes është pastaj \(F=14.525\).

Kur personi shpërfillet, këto dallime të qëndrueshme fillestare shtyhen në rezidual. Katrori mesatar i gabimit rritet në 19.151 dhe i njëjti katror mesatar i rastit të matjes pjesëtohet me një emërues më të madh e më pak të përshtatshëm. \(F=3.282\) që del i përgjigjet pyetjes për rastin e matjes me më pak efikasitet dhe mbështetet në idenë e gabuar se matjet e të njëjtit person nuk lidhen.

Mësimi është strukturor, jo një truk për ta bërë \(F\) më të madh. Përfshije termin e personit sepse të njëjtët persona u matën në mënyrë të përsëritur. Nëse persona të ndryshëm do të jepnin vlerat në rastet e ndryshme të matjes, shtimi i një identifikuesi personi nuk do të krijonte dizajn me matje të përsëritura.

Nga një faktor i përsëritur te dizajnet faktoriale dhe të përziera

Modeli njëfaktorial më sipër pyet nëse një faktor brenda personit ndryshon nëpër nivelet e veta. E njëjta logjikë e dizajnit mund të zgjerohet në dy drejtime:

  • Në një dizajn faktorial me matje të përsëritura, të njëjtët persona kalojnë nëpër çdo kombinim të dy ose më shumë faktorëve brenda personit. Modeli mund të testojë secilin efekt kryesor brenda personit dhe ndërveprimin e modeleve të tyre.
  • Një dizajn i përzier bashkon të paktën një faktor mes grupeve me të paktën një faktor brenda personit. Grupe të ndryshme ndiqen nëpër të njëjtat kushte ose raste të përsëritura.

Mendo disa grupe të matura në disa raste. Efekti kryesor i grupit pyet nëse grupet ndryshojnë mesatarisht nëpër rastet e matjes. Efekti kryesor i rastit pyet nëse rezultatet ndryshojnë mesatarisht nëpër grupe. Ndërveprimi grup me rast bën pyetjen më të veçantë të dizajnit: A ndryshon modeli i zhvillimit mes grupeve? Trajektoret paralele të grupeve sugjerojnë mungesë ndërveprimi. Te trajektoret joparalele, diferenca mes grupeve ndryshon nëpër raste.

Faktorët shtesë nuk e heqin varësinë. Çdo grup vrojtimesh nga i njëjti person mbetet i lidhur, ndërsa vrojtimet nga persona të ndryshëm mbeten njësi të ndara. Modeli i duhur duhet t’i paraqesë të dyja pjesët. Prandaj, dizajni i përzier nuk është thjesht tabelë faktoriale me rreshta të përsëritur. Marrëdhëniet mes rreshtave e përcaktojnë strukturën e gabimit për secilën pyetje.

Përveç kushteve të normalitetit dhe pavarësisë të shprehura për termat e rastësishëm, testi i zakonshëm \(F\) me matje të përsëritura kërkon sfericitet. Sfericiteti do të thotë se variancat në popullatë të të gjitha rezultateve të diferencave në çift janë të barabarta. Me tri raste matjeje, krahaso variancat e tri rezultateve të diferencave: e para minus e dyta, e para minus e treta dhe e dyta minus e treta. Ato nuk duhet të kenë variancë zero ose mesatare të barabarta. Sipas supozimit, variancat e tyre duhet të përputhen.

Hapësirat e pabarabarta kohore ose modele të tjera brenda personit mund ta shkelin sfericitetin. Korrigjimi Greenhouse-Geisser përdor një vlerësim \(\widehat\varepsilon\) të barabartë me ose më të vogël se 1 për t’i zvogëluar si shkallët e lirisë të numëruesit, ashtu edhe ato të emëruesit:

\[ df_{\text{condition}}^* = \widehat\varepsilon\,df_{\text{condition}}, \qquad df_e^* = \widehat\varepsilon\,df_e. \]

Raporti i vëzhguar \(F\) mbetet i njëjtë, por vlera e tij p ose vlera kritike rillogaritet nga shkallët e korrigjuara të lirisë. Vlerat e \(\widehat\varepsilon\) më larg nën 1 prodhojnë korrigjim më të fortë. Korrigjimi trajton shpërndarjen referuese për testin. Nuk i bën matjet fillestare të pavarura.

ANOVA si model i përgjithshëm linear

ANOVA i përket modelit të përgjithshëm linear të zhvilluar në Temat 5 deri në 8:

  • regresioni përdor një rezultat sasior me ndryshore parashikuese sasiore dhe ndoshta kategorike;
  • ANOVA përdor një rezultat sasior me ndryshore parashikuese kategorike; dhe
  • analiza e kovariancës bashkon ndryshore parashikuese kategorike dhe sasiore.

Një faktor kategorik mund të hyjë në një ekuacion regresioni përmes ndryshoreve treguese. Fillo me një faktor me tri nivele dhe zgjidh nivelin 1 si referencë. Mjaftojnë dy ndryshore treguese:

\[ \widehat Y=b_0+b_1D_2+b_2D_3. \]

Tabela 12: Kodimi me ndryshore treguese lejon që një ekuacion regresioni t’i riprodhojë të tri mesataret e përshtatura të grupeve.
Niveli i faktorit \(D_2\) \(D_3\) Mesatarja e përshtatur e grupit
Niveli 1, referenca 0 0 \(b_0\)
Niveli 2 1 0 \(b_0+b_1\)
Niveli 3 0 1 \(b_0+b_2\)

Lexoji rreshtat duke i zëvendësuar vlerat në ekuacion. Kur të dy treguesit janë 0, vlera e përshtatur është mesatarja referuese \(b_0\). Vendosja e \(D_2=1\) shton \(b_1\), prandaj ky koeficient është niveli 2 minus referenca. Vendosja e \(D_3=1\) shton \(b_2\), diferencën e nivelit 3 nga referenca. Vlerat treguese janë çelësa, jo largësi të matura mes kategorive.

Testi i përgjithshëm \(F\) në regresionin e shumëfishtë të Temës 7 pyeti nëse një grup ndryshoresh parashikuese e përmirëson bashkërisht modelin e përshtatur. Këtu, testi i përgjithshëm \(F\) i ANOVA-s pyet nëse koeficientët tregues të një faktori mund të jenë bashkërisht zero. Të dy testet e krahasojnë ndryshueshmërinë e përfaqësuar me ndryshueshmërinë e mbetur të gabimit. Prandaj, ANOVA dhe regresioni janë paraqitje të ndryshme të së njëjtës kornizë lineare. Pyetja shkencore përcakton se cili fjalor është më i qartë.

Pyetja udhëzuese: Nëse çdo koeficient tregues do të ishte zero, cilën mesatare të përshtatur do ta merrte çdo nivel i faktorit?

Përputhe secilën pyetje shkencore me testin e saj F

Shprehja «testi \(F\)» nuk emërton një pyetje të vetme universale. ANOVA përdor të njëjtën logjikë të përgjithshme të raportit për disa hipoteza zero të ndryshme. Numëruesi ndryshon sipas efektit ose krahasimit që testohet, ndërsa katrori mesatar përkatës i gabimit jep emëruesin në rastet me efekte fikse të zhvilluara këtu.

Tabela 13: Testet e përgjithshme, të kontrastit, të efektit kryesor dhe të ndërveprimit përdorin statistikë F, por u përgjigjen pyetjeve të ndryshme.
Pyetja shkencore Hipoteza zero Testi i mbështetur në këtë temë
A ndryshon ndonjë mesatare në një faktor me \(p\) nivele? \(H_0:\mu_1=\cdots=\mu_p\) Testi i përgjithshëm njëfaktorial \(F\) me \(p-1\) shkallë lirie në numërues
A ndryshon nga zero një krahasim i peshuar i përcaktuar paraprakisht? \(H_0:D=\sum_i c_i\mu_i=0\) Testi \(F\) i kontrastit me një shkallë lirie në numërues
A ka efekt kryesor të faktorit A pasi merret mesatarja nëpër B? \(H_0:\alpha_i=0\) për çdo \(i\) Testi \(F\) i faktorit A
A ka efekt kryesor të faktorit B pasi merret mesatarja nëpër A? \(H_0:\beta_j=0\) për çdo \(j\) Testi \(F\) i faktorit B
A ndryshon modeli i A-së nëpër nivelet e B-së? \(H_0:(\alpha\beta)_{ij}=0\) në çdo qelizë Testi \(F\) i ndërveprimit

Ekuacioni i koduar me tregues për tri nivele e bën veçanërisht konkret dallimin e parë. Testi i përgjithshëm i faktorit shqyrton hipotezën e përbashkët

\[ H_0:\beta_1=\beta_2=0. \]

Ndërsa një test individual i koeficientit me \(H_0:\beta_1=0\) krahason vetëm nivelin 2 me nivelin referues të zgjedhur. Ai nuk thotë drejtpërdrejt asgjë për nivelin 3 kundrejt referencës ose për nivelin 2 kundrejt nivelit 3. Kur faktori ka saktësisht dy nivele, ka vetëm një koeficient tregues. Prandaj, nën të njëjtat kushte të variancave të barabarta, statistika e përgjithshme me një shkallë lirie dhe statistika përkatëse e dyanshme e koeficientit plotësojnë \(F=t^2\). Me tri ose më shumë nivele nevojitet testi i përbashkët \(F\) për ta shqyrtuar të gjithë faktorin njëherësh.

Në një ANOVA faktoriale, tri rreshtat për A, B dhe \(A\times B\) janë po ashtu tri teste të ndara. Një ndërveprim domethënës thotë se modeli i një faktori ndryshon përgjatë faktorit tjetër. Ai nuk i identifikon automatikisht krahasimet qelizore që e krijojnë atë model dhe mund ta bëjë një efekt kryesor margjinal përmbledhje të paplotë. Kontrastet e planifikuara ose krahasimet vijuese të arsyetuara japin pyetjet e ardhshme, më të përqendruara.

ShënimDallim i rëndësishëm

Kjo pjesë trajton modelin e përgjithshëm linear. Modeli i përgjithësuar linear është një familje tjetër modelesh dhe nuk paraqitet në këtë renditje mësimore të Statistikës 1. Emrat e ngjashëm nuk duhet të përdoren si të këmbyeshëm.

Të dhënat e përsëritura dhe të dhënat e ndërfutura, ku rastet grupohen brenda njësive më të mëdha, si studentët brenda klasave, mund të paraqiten në mënyrë më elastike me një model linear të përzier. Ky lloj modeli bashkon efekte fikse dhe të rastësishme për të paraqitur si modelet mesatare, ashtu edhe ndryshueshmërinë e lidhur me grupimin. Ky zgjerim e ruan mësimin qendror: marrëdhëniet mes vëzhgimeve i përkasin modelit dhe nuk janë diçka që shtohet më vonë.

ParalajmërimGabime të mundshme
  • Kryerja e çdo testi t në çift sikur të ishte i vetëm. Krahasimet e lidhura formojnë një familje, rreziku i rezultateve pozitive të rreme i së cilës kërkon një strategji të qartë.
  • Leximi i tepruar i testit të përgjithshëm \(F\). Një rezultat domethënës nuk tregon se çdo mesatare grupi ndryshon nga çdo mesatare tjetër.
  • Quajtja e një krahasimi të planifikuar pasi janë parë rezultatet. Një kontrast i planifikuar duhet të përcaktohet para se rezultatet të përdoren për ta zgjedhur.
  • Interpretimi i një efekti kryesor para kontrollit të ndërveprimit. Një ndërveprim mund ta bëjë modelin në nivel qelize të ndryshojë nga mesatarja margjinale.
  • Ngatërrimi i faktorëve fiksë me faktorët e rastësishëm. Nivelet e zgjedhura qëllimisht dhe nivelet e kampionuara mbështesin fusha të ndryshme interpretimi.
  • Trajtimi i vrojtimeve të përsëritura si raste të pavarura. Matjet e të njëjtit person lidhen dhe kjo varësi duhet të përfaqësohet në model.
  • Zbatimi i një formule ICC në çdo dizajn. Formula njëfaktoriale nuk kalon e pandryshuar në çdo strukturë të grupuar ose të përsëritur.
  • Trajtimi i një grafiku të qetë diagnostikues si provë. Diagnostikimet shqyrtojnë veçori të caktuara të modelit dhe nuk mund të vërtetojnë çdo kusht të dizajnit ose të modelit.

Pse ka rëndësi e gjithë kjo: thelbi dhe nevoja për ANOVA-n

ANOVA nevojitet sepse një grup mesataresh krijon dy probleme njëkohësisht. Së pari, diferencat e dukshme në kampion mund të shfaqen edhe kur mesataret e popullatave janë të barabarta. Së dyti, testimi i çdo çifti veçmas krijon një familje gjithnjë e më të madhe mundësish për përfundime pozitive të rreme. ANOVA fillon me një pyetje të koordinuar: A është ndarja mes mesatareve të përshtatura të grupeve ose qelizave e madhe në krahasim me ndryshueshmërinë që mbetet brenda atyre grupeve të përshtatura?

Ky krahasim është thelbi i raportit \(F\). Numëruesi përfaqëson modelin e saktë të emërtuar nga hipoteza, si një faktor të tërë, një kontrast të planifikuar ose një ndërveprim. Emëruesi përfaqëson një vlerësim të përshtatshëm të ndryshueshmërisë së mbetur të gabimit. Një raport i madh jep dëshmi kundër asaj hipoteze zero të caktuar, jo një shpallje të përgjithshme se çdo grup ndryshon, çdo koeficient ka rëndësi ose rezultati është i rëndësishëm në praktikë.

Prandaj metoda ka një ritëm të qëllimshëm. Së pari shqyrto dizajnin dhe shpërndarjet. Pastaj përdor një test të përgjithshëm ose një test \(F\) për një efekt të caktuar për të pyetur nëse dallohet një model i strukturuar. Vetëm më pas përdor kontraste të përcaktuara paraprakisht ose krahasime vijuese që marrin parasysh shumëfishësinë, për t’i gjetur diferencat që testi i gjerë nuk mundi t’i emërtonte. Kjo ndarje të lejon të thuash saktë cila pyetje ishte planifikuar, cila ishte eksploruese dhe cila familje përfundimesh duhet mbrojtur.

Zgjerimet bëhen më të lehta për t’u renditur kur qëllimi i tyre mbetet i dukshëm. Një ANOVA njëfaktoriale krahason nivelet e një faktori. Një ANOVA faktoriale shton faktorë dhe pyet nëse efektet e tyre janë mbledhëse apo ndërveprojnë. Një faktor i rastësishëm e ndryshon synimin për popullatën nga diferencat mes mesatareve të zgjedhura te një përbërës i variancës. Një ANOVA me matje të përsëritura përfaqëson lidhjen mes vëzhgimeve të të njëjtit person, në vend që të shtiret sikur ato rreshta janë të pavarur. Secili zgjerim i përgjigjet një pyetjeje tjetër shkencore ose strukture varësie duke ndryshuar modelin. Kjo është lidhja mes formulave.

Në fund, ANOVA e përmbyll vargun e regresionit. Kodimi me tregues i lejon një ekuacioni regresioni t’i riprodhojë mesataret e grupeve, ndërsa testi i përbashkët i koeficienteve përkatëse treguese është testi i faktorit në ANOVA. Ndërveprimet faktoriale janë ana kategorike e termave të ndërveprimit në regresionin e shumëfishtë. Shumat e katrorëve vazhdojnë ta ndajnë ndryshueshmërinë e përfaqësuar nga ndryshueshmëria e mbetjeve. Shikimi i kësaj strukture të përbashkët e kthen ANOVA-n nga një tabelë e izoluar në një mënyrë koherente për të pyetur nëse ndryshoret parashikuese kategorike organizojnë ndryshueshmëri kuptimplotë të rezultatit.

Kontrolli përmbyllës: A mund t’i emërtosh mesataret e përshtatura ose modelin e qelizave, të thuash saktë cilët koeficientë ose efekte janë bashkërisht zero nën hipotezën zero, ta identifikosh strukturën e duhur të gabimit dhe të shpjegosh çfarë ende nuk të tregon një rezultat domethënës? Nëse po, e ke kapur logjikën qendrore të ANOVA-s.

Një rrjedhë e besueshme pune për ANOVA-n

Përdore këtë rend:

  1. Identifiko rezultatin sasior, faktorët, nivelet, qelizat dhe njësinë e vëzhgimit.
  2. Përshkruaj caktimin, kampionimin, balancën dhe çdo matje të përsëritur.
  3. Shprehi hipotezat e përgjithshme para se të shqyrtosh rezultatet e testit.
  4. Vizato shpërndarjet dhe mesataret e grupeve ose qelizave.
  5. Përshtate modelin dhe verifiko strukturën e shumave të katrorëve dhe shkallëve të lirisë.
  6. Shqyrto shpërndarjen e rezidualeve, normalitetin dhe vëzhgimet e pazakonta.
  7. Interpretoje ngushtë testin e përgjithshëm \(F\).
  8. Zbato kontrastet e përcaktuara paraprakisht ose një familje post hoc të arsyetuar me kontroll të shumëfishësisë.
  9. Shqyrtoji ndërveprimet para se të përmbledhësh efektet kryesore margjinale.
  10. Përputhi termat fiksë, të rastësishëm ose të përsëritur me pyetjen për popullatën.
  11. Ndaji domethënien statistikore, rëndësinë praktike dhe interpretimin shkakësor.

Shembulli i simuluar tani zbaton thelbin njëfaktorial të kësaj rrjedhe pune, pa shtuar analiza faktoriale, me faktor të rastësishëm ose me matje të përsëritura në të njëjtin grup të dhënash.

Studim njëfaktorial i rastësuar: Katër rutina studimi

Tema 1 prezantoi simulimin, gjeneratorët e numrave të rastësishëm, numrat nisës të pandryshuar dhe riprodhueshmërinë. Ky shembull përdor sërish atë përgatitje: receta dhe numri nisës i ruajtur rikrijojnë të njëjtat vlera artificiale sa herë që ndërtohet faqja.

Ky shembull përmban 160 pjesëmarrës artificialë. Është një studim njëfaktorial sepse ka një faktor kategorik, kushtin e studimit. Caktimi i rastësishëm do të thotë se një proces i bazuar në rastësi e përcakton secilin kusht dhe jo një karakteristikë e pjesëmarrësit ose zgjedhja e analistit. Këtu, ai proces vendos saktësisht 40 pjesëmarrës në secilin nga katër kushtet e rutinës së studimit. Rezultati është një rezultat i ndërtuar i të nxënit nga 0 deri në 100.

Në faqe do të shfaqen katër mesatare të kampionit, por dallimet e dukshme mes tyre janë vetëm fillimi i arsyetimit. Tri pyetje e udhëheqin analizën:

A janë dallimet mesatare të mëdha në raport me ndryshueshmërinë e rezultateve që mbetet brenda grupeve? Çfarë mund të tregojë një test i vetëm i përgjithshëm pa pretenduar se ndryshon çdo çift? Si duhet të ndahet një krahasim i zgjedhur para shqyrtimit të rezultateve nga eksplorimi i të gjitha çifteve më pas?

Së bashku, këto pyetje çojnë te analiza qendrore: a ndryshojnë rezultatet mesatare të të nxënit në popullatë mes katër kushteve të rastësuara të studimit në këtë model të ndërtuar?

Tabela 14: Dizajni i studimit mësimor të ndërtuar për ANOVA-n njëfaktoriale.
Pjesa e dizajnit Roli në simulim
Rezultati Rezultati i të nxënit nga 0 deri në 100
Faktori Kushti i studimit
Nivelet Referenca, udhëzuesi i planifikimit, nxitjet për rikujtim, rutina e kombinuar
Qeliza Një kusht, sepse ky është dizajn me një faktor
Caktimi I rastësuar nga udhëzimet e simulimit
Balanca 40 raste në çdo nivel
Njësia e vëzhgimit Një pjesëmarrës artificial

Tabela e dizajnit është një listë kontrolli për zgjedhjen e modelit. Ka një rezultat sasior, një faktor kategorik, katër nivele dhe një vëzhgim nga çdo pjesëmarrës artificial. Madhësitë e barabarta të grupeve e bëjnë dizajnin të balancuar. Caktimi i rastësishëm i përket udhëzimeve, prandaj analiza e simuluar mund ta ilustrojë logjikën eksperimentale, ndërsa mungesa e pjesëmarrësve të vërtetë e mban çdo përfundim përmbajtësor imagjinar.

Shembulli ndjek fillimisht analizën e përgjithshme, pastaj një kontrast të përcaktuar paraprakisht, një krahasim të përqendruar të zgjedhur para se të shqyrtohen rezultatet, dhe një familje post hoc të të gjitha çifteve, një grup krahasimesh të shqyrtuara pas rezultatit të përgjithshëm. Ky rend ka rëndësi: nuk e kërkojmë fillimisht tabelën e çifteve dhe më pas shtiremi sikur krahasimi më tërheqës ishte planifikuar.

Hapi 1: Verifiko rreshtat dhe madhësitë e grupeve

Çdo pjesëmarrës kontribuon një rezultat në një kusht. Tabela ndërvepruese përmban të gjithë 160 rreshtat e rastësuar. Përdor kërkimin, renditjen dhe ndarjen në faqe për t’i shqyrtuar caktimet duke e mbajtur bashkë kushtin dhe rezultatin e secilit pjesëmarrës.

Tabela 15

Tabela vërteton se çdo ID pjesëmarrësi shfaqet me një kusht dhe një rezultat të nxëni. ID-të e pjesëmarrësve janë etiketa, jo matje sasiore. Çdo llogaritje përdor këtë grup të plotë të të dhënave.

Përmbledhjet e grupeve vërtetojnë ndarjen e balancuar.

Tabela 16: Përmbledhjet e grupeve për katër kushtet e ndërtuara të studimit.
Kushti i studimit n Mesatarja DS Minimumi Maksimumi
Referenca 40 59.82 8.38 41.1 80.9
Planifikimi i udhëzuar 40 63.81 7.34 47.8 78.1
Nxitje rikujtimi 40 65.87 7.54 49.9 85.7
Rutinë e kombinuar 40 69.84 7.52 52.4 83.6

Lexoje tabelën e përmbledhjeve të grupeve në dy drejtime. Përgjatë një rreshti, mesatarja vendos qendrën e një kushti, devijimi standard përshkruan shpërndarjen tipike brenda kushtit dhe minimumi dhe maksimumi tregojnë intervalin e tij të vëzhguar. Poshtë tabelës, çdo \(n\) është 40, gjë që vërteton balancën, ndërsa mesataret japin dëshminë e parë të dukshme për ndarjen mes grupeve. Mesatarja e përgjithshme nëpër të 160 rezultatet është 64.836. Vetëm tabela nuk mund ta tregojë shpërndarjen e rezultateve individuale, prandaj hapi vijues vizaton çdo vëzhgim.

Hapi 2: Vizato shpërndarjet e grupeve para testimit

Figura 10: Mesataret e grupeve ndryshojnë, por rezultatet individuale ende ndryshojnë brenda çdo kushti të rastësuar.

Çdo pikë është një pjesëmarrës artificial, prandaj zhvendosja e vogël e pozicionit vetëm i mban të dukshme pikat që mbivendosen dhe nuk ka kuptim numerik. Vija brenda secilës kuti shënon medianën, kutia mbulon gjysmën e mesme të rezultateve dhe shenja e mbivendosur e mesatares vendos madhësinë që përdoret në llogaritjen e ANOVA-s. Mesataret e kampionit rriten përgjatë katër kushteve. Edhe kutitë dhe pikat mbivendosen, duke na kujtuar se ANOVA krahason madhësinë e ndarjes mes grupeve me ndryshueshmërinë e mbetur brenda grupeve. Nuk kërkon që çdo rezultat në një grup ta kalojë çdo rezultat në një grup tjetër.

Hipotezat për popullatën janë

\[ H_0:\mu_{\text{reference}} =\mu_{\text{planning}} =\mu_{\text{retrieval}} =\mu_{\text{combined}} \]

dhe

\[ H_1:\text{të paktën dy nga këto mesatare të popullatës ndryshojnë}. \]

Hapi 3: Ndaje ndryshueshmërinë

Llogaritjet me dorë japin:

Tabela 17: Kontrollet numerike për ndarjen e shumave të katrorëve dhe shkallëve të lirisë.
Madhësia Vlera
Shuma totale e katrorëve 11350.387
Shuma e katrorëve e faktorit 2093.474
Shuma e katrorëve e gabimit 9256.913
SS e faktorit + SS e gabimit 11350.387
Shkallët totale të lirisë 159.000
df e faktorit + df e gabimit 159.000

Tabela përmban dy kontrolle paralele. Rreshtat e shumave të katrorëve verifikojnë si ndahet ndryshueshmëria e vëzhguar e rezultatit. Rreshtat e shkallëve të lirisë verifikojnë si ndahet informacioni i disponueshëm. Dy barazitë vlejnë përveç rrumbullakosjes së paraqitur:

\[ 11350.387 = 2093.474 + 9256.913, \]

\[ 159 = 3 + 156. \]

Figura 11: Shumat e katrorëve të faktorit dhe gabimit japin saktësisht shumën totale të katrorëve.

Të dyja shtyllat kanë të njëjtën gjatësi totale sepse përshkruajnë të njëjtën shumë totale të katrorëve. Shtylla e parë e mban atë ndryshueshmëri në një pjesë. Shtylla e dytë e hap në përbërësin e faktorit dhe atë të gabimit. Segmenti i faktorit shënon ndarjen e mesatareve të katër kushteve nga mesatarja e përgjithshme. Segmenti më i madh i gabimit shënon devijimet individuale rreth atyre mesatareve të kushteve. Vetëm madhësia e këtij segmenti nuk e përcakton rëndësinë e faktorit, sepse \(F\) i krahason katrorët mesatarë përkatës pasi merren parasysh shkallët e tyre të ndryshme të lirisë.

Hapi 4: Plotësoje dhe interpretoje tabelën e ANOVA-s

Katrorët mesatarë janë

\[ MS_A = \frac{2093.474}{3} = 697.825, \]

\[ MS_e = \frac{9256.913}{156} = 59.339. \]

Prandaj,

\[ F = \frac{697.825} {59.339} = 11.760. \]

Tabela 18: Tabela e plotë e ANOVA-s njëfaktoriale për studimin e rastësuar të ndërtuar.
Burimi SS Shkallët e lirisë MS F p
Kushti i studimit 2093.474 3 697.825 11.760 < .001
Gabimi 9256.913 156 59.339
Totali 11350.387 159

Tabela e ANOVA-s e ngjesh tërë llogaritjen në rreshta. Rreshti i faktorit përmban \(SS_A\), \(df_A\), \(MS_A\) dhe \(F\) që del prej tyre. Rreshti i gabimit jep \(SS_e\), \(df_e\) dhe emëruesin \(MS_e\). Rreshti total verifikon ndryshueshmërinë e plotë të rezultatit, por nuk kërkon vlerën e vet \(F\). Leximi përgjatë rreshtit të faktorit i riprodhon formulat menjëherë sipër tij.

Rezultati është \(F(3, 156)=11.760\), \(p<.001\). Sipas supozimeve të modelit, të dhënat janë pak të pajtueshme me mesatare të barabarta të popullatës në të katër kushtet e ndërtuara. Të paktën dy mesatare ndryshojnë.

Tabela e ANOVA-s e jep vlerën p numerikisht. Figura vijuese tregon saktësisht ku ndodhet ky probabilitet në shpërndarjen e referencës.

Figura 12: Vlera p e testit të përgjithshëm është probabiliteti sipas modelit zero për një statistikë F të paktën po aq të madhe sa raporti i vrojtuar.

Boshti horizontal përmban raportet e mundshme \(F\) kur mesataret e popullatës janë të barabarta dhe vlejnë kushtet e deklaruara të modelit. Lartësia e lakores është dendësi, prandaj vlera p është një sipërfaqe dhe jo lartësia në një pikë. Vija e ndërprerë shënon \(F\) e vrojtuar. Çdo vlerë në brezin e zbehtë vertikal në të djathtë të saj është të paktën po aq e madhe. Vlera p është sipërfaqja nën lakoren e dendësisë përgjatë atij brezi. Këtu ajo është aq e vogël sa zona e mbushur gjendet pothuajse mbi boshtin horizontal.

Përdoret vetëm bishti i djathtë, sepse një raport \(F\) bëhet evidencë kundër \(H_0\) kur është jashtëzakonisht i madh. Një raport afër 1 përputhet me katrorë mesatarë të faktorit dhe gabimit me madhësi të ngjashme. Zona e ngjyrosur nuk jep probabilitetin që \(H_0\) është e vërtetë, nuk mat rëndësinë praktike dhe nuk identifikon mesataret e veçanta që ndryshojnë.

Rezultati i përgjithshëm nuk tregon se çdo çift ndryshon. Gjithashtu nuk tregon se cila rutinë studimi është përgjegjëse. Tani kalojmë te krahasimi që u përcaktua para se të shqyrtoheshin rezultatet.

Hapi 5: Testo një kontrast të përcaktuar paraprakisht

Pyetja e planifikuar e krahason mesataren e tri rutinave aktive me kushtin referues. Peshat \((-3,1,1,1)\) japin shumën zero.

Tabela 19: Peshat dhe mesataret e peshuara të kampionit për kontrastin e përcaktuar paraprakisht.
Kushti i studimit Mesatarja e grupit Pesha Pesha herë mesatarja
Referenca 59.820 -3 -179.460
Planifikimi i udhëzuar 63.812 1 63.812
Nxitje rikujtimi 65.867 1 65.867
Rutinë e kombinuar 69.842 1 69.842

Tabela e peshave tregon krahasimin para testit. Mesatarja referuese merr peshën \(-3\) dhe secila nga tri mesataret aktive merr peshën \(+1\). Peshat japin shumën zero, siç kërkon një kontrast i vlefshëm. Kolona e fundit tregon kontributin e secilit grup në shumën e peshuar, prandaj mbledhja e asaj kolone jep \(D\).

Vlera e kontrastit të peshuar është \(D=20.0625\). Meqë peshat e zgjedhura e shumëzojnë me 3 diferencën mes rutinave aktive dhe referencës, pjesëtimi me 3 jep diferencën drejtpërdrejt të interpretueshme mes mesatares së rutinave aktive dhe mesatares referuese:

\[ \frac{D}{3}=6.687\text{ pikë}. \]

Për dizajnin e balancuar,

\[ SS_D = \frac{40(20.0625)^2} {(-3)^2+1^2+1^2+1^2} = 1341.680, \]

dhe

\[ F_D = \frac{1341.680} {59.339} = 22.610. \]

Tabela 20: Rezultati i kontrastit të vetëm të përcaktuar paraprakisht për rutinat aktive.
Krahasimi Diferenca mesatare SS e kontrastit Shkallët e lirisë të numëruesit Shkallët e lirisë të emëruesit F p
Mesatarja e tri rutinave aktive minus referenca 6.687 1341.68 1 156 22.61 < .001

Tabela e rezultateve e lidh më pas krahasimin shkencor me testin e tij të inferencës. Kolona e diferencës mesatare e jep efektin në pikë të rezultatit të të nxënit. SS e kontrastit e shpreh atë krahasim si pjesë me një shkallë lirie të ndryshueshmërisë së rezultatit. Pjesëtimi me të njëjtin \(MS_e\) që përdoret në modelin e përgjithshëm prodhon \(F_D\).

Rutinat aktive të ndërtuara kanë mesatare 6.687 pikë mbi referencën, me \(F(1, 156)=22.610\), \(p<.001\). Ky është një test vërtet i përcaktuar paraprakisht në simulim, jo një krahasim i zgjedhur sepse rezultati i tij dukej i favorshëm.

Hapi 6: Përdor një familje post hoc të të gjitha çifteve për hollësi eksploruese

Mendo se analisti dëshiron të shqyrtojë edhe çdo çift pasi sheh rezultatin e përgjithshëm domethënës. Kjo është eksploruese sepse analisti shqyrton modele më të hollësishme pasi sheh rezultatet, në vend që të testojë vetëm një krahasim të fiksuar paraprakisht. Procedura e Tukey-t i trajton të gjashtë çiftet si një familje dhe raporton vlera p të përshtatura në nivel familjeje dhe intervale të njëkohshme besimi 95%. Të njëkohshme do të thotë se mbulimi 95% zbatohet së bashku për tërë grupin e intervaleve në çift sipas procedurës, jo veçmas për secilin interval sikur të mos ekzistonin krahasimet e tjera.

Tabela 21: Krahasimet post hoc Tukey të të gjitha çifteve për studimin e ndërtuar.
Krahasimi Diferenca mesatare Kufiri i poshtëm 95% Kufiri i sipërm 95% p e përshtatur
Planifikimi i udhëzuar-Referenca 3.992 -0.481 8.466 .098
Nxitje rikujtimi-Referenca 6.047 1.574 10.521 .003
Rutinë e kombinuar-Referenca 10.023 5.549 14.496 < .001
Nxitje rikujtimi-Planifikimi i udhëzuar 2.055 -2.418 6.528 .632
Rutinë e kombinuar-Planifikimi i udhëzuar 6.030 1.557 10.503 .003
Rutinë e kombinuar-Nxitje rikujtimi 3.975 -0.498 8.448 .101

Çdo rresht Tukey është një zbritje me rend të përcaktuar. Një etiketë e shkruar si “A-B” raporton mesataren e A-së minus mesataren e B-së, prandaj shenja duhet të lexohet në atë rend të paraqitur. Kolona e diferencës mesatare jep largësinë e vlerësuar, ndërsa kufiri i poshtëm dhe i sipërm tregojnë intervalin e saj të njëkohshëm. Një interval që përmban zeron përputhet me mungesën e diferencës për atë çift sipas kësaj procedure në nivel familjeje. Një interval plotësisht në njërën anë të zeros mbështet një diferencë me drejtim në nivelin e mbrojtur familjar. Vlera p e përshtatur e vlerëson të njëjtin çift duke marrë parasysh të gjashtë krahasimet në çift.

Tabela nuk i shndërron krahasimet eksploruese në hipoteza të planifikuara. Ajo i përgjigjet një pyetjeje më të gjerë për të gjitha çiftet me mbrojtjen përkatëse ndaj shumëfishësisë.

Një familje Dunnett do të ishte më e përqendruar nëse pyetja e vetme post hoc do të ishte si krahasohet secila rutinë aktive me referencën. Zgjedhja mes Tukey-t dhe Dunnett-it është vendim për hartimin e pyetjes, jo kërkim i metodës që prodhon vlera p më të vogla.

Hapi 7: Shqyrto diagnostikimet e modelit dhe shprehi kufijtë

Figura 13: Grafikët e rezidualeve dhe Q-Q trajtojnë supozimet e shpërndarjes së barabartë dhe gabimeve normale. Ata nuk i vërtetojnë këto supozime.

Paneli i rezidualeve kundrejt vlerave të përshtatura tregon katër breza vertikalë sepse çdo rast në një kusht ka të njëjtën mesatare të përshtatur të grupit. Krahaso shpërndarjen vertikale të atyre brezave në vend që të kërkosh një marrëdhënie me pjerrësi mes tyre. Shpërndarjet e tyre janë mjaft të ngjashme në këtë grup të dhënash të ndërtuar. Paneli Q-Q i rendit rezidualet e standardizuara dhe i krahason me vlerat që priten nga një shpërndarje normale. Pikat mjaft afër vijës referuese tregojnë se simulimi nuk përmban ndonjë largim të rëndë të projektuar, megjithëse asnjëri panel nuk e vërteton një supozim.

Pavarësia dhe caktimi i rastësishëm nuk mund të diagnostikohen nga këta grafikë. Ato janë veçori të procedurave të krijimit të të dhënave dhe studimit. Këtu, udhëzimet e krijojnë në mënyrë të pavarur ndryshueshmërinë e rezultatit të secilit pjesëmarrës dhe i japin secilit një rezultat, gjë që siguron pavarësinë e ndërtuar në këtë shembull artificial. Hapi i veçantë i caktimit të rastësishëm përcakton etiketat e kushteve. Vetëm caktimi i rastësishëm nuk do të garantonte gabime të pavarura.

ShënimDallim i rëndësishëm

Katër mesataret e kushteve të ndërtuara nuk janë të gjitha të barabarta. Krahasimi i përcaktuar paraprakisht vlerëson se tri rutinat aktive kanë mesatare 6.687 pikë mbi referencën dhe tabela Tukey përshkruan vazhdimin e përshtatur me të gjitha çiftet. Këto rezultate i përkasin modelit artificial të rastësuar dhe nuk përshkruajnë nxënës të vërtetë.

Gabime të mundshme

Ky simulim është i balancuar, i plotë, i rastësuar dhe i krijuar me shpërndarje të ngjashme brenda grupeve. Studimet e vërteta mund të kenë rezultate që mungojnë, madhësi të pabarabarta qelizash, largime nga procedura e planifikuar, gabime që nuk kanë shpërndarje normale, vëzhgime të pazakonta që ndikojnë fort në model ose raste të varura.

  • Trajtimi i rezultatit të përgjithshëm si provë se çdo çift ndryshon. Testi i përgjithshëm tregon vetëm se mesataret e popullatës nuk janë të gjitha të barabarta sipas modelit.
  • Kryerja e shumë testeve të papërshtatura në çift. Krahasimet e lidhura formojnë një familje, prandaj duhet trajtuar rreziku i rezultateve pozitive të rreme.
  • Quajtja e një krahasimi post hoc të planifikuar. Një kontrast i planifikuar duhet të përcaktohet para se rezultatet ta udhëheqin zgjedhjen.
  • Shpërfillja e kushtit të pavarësisë në llogaritjen Sidak. Ekuacioni i saktë familjar i paraqitur përdor teste të pavarura.
  • Trajtimi i Bonferroni-t sikur kërkon teste të pavarura. Mbrojtja e tij si kufi i sipërm nuk varet nga i njëjti supozim pavarësie.
  • Pohimi i një efekti real shkakësor ose me rëndësi praktike nga testi artificial \(F\). Simulimi i rastësuar ilustron logjikën e dizajnit, por nuk përmban pjesëmarrës ose ndërhyrje të vërtetë.

Si i bashkon ky shembull idetë e teorisë

Shtatë hapat ndoqën logjikën njëfaktoriale të pjesës Teoria. Emërtuam rezultatin dhe faktorin, verifikuam dizajnin, vizatuam çdo grup, ndamë ndryshueshmërinë totale në përbërës të faktorit dhe gabimit, formuam raportin e tyre të katrorëve mesatarë, interpretuam rezultatin e përgjithshëm dhe më pas e mbajtëm kontrastin e përcaktuar paraprakisht të ndarë nga familja eksploruese e të gjitha çifteve. Diagnostikimet e kthyen vëmendjen te rezidualet dhe te kushtet e dizajnit që një grafik nuk mund t’i verifikojë.

Tema e fundit e përmbyll renditjen mësimore duke treguar se metodat e mëvonshme janë këndvështrime të ndryshme të një grupi të lidhur pyetjesh lineare.

Tabela 22: Temat e mëvonshme të Statistikës 1 bëjnë versione gjithnjë e më të strukturuara të një pyetjeje të përbashkët të modelit linear.
Tema Pyetja fillestare Çfarë përshtatet ose përmblidhet Si çon përpara
Kovarianca dhe korrelacioni A ndryshojnë bashkë dy ndryshore sasiore? Drejtimi dhe forca e lëvizjes lineare në çift Vendos lidhjen që regresioni do ta paraqesë me një vijë
Regresioni i thjeshtë linear Si ndryshon një rezultat i përshtatur me një ndryshore parashikuese sasiore? Një vijë, vlerat e përshtatura dhe rezidualet Paraqet parashikimin, shumat e katrorëve dhe gabimin e modelit
Korrelacioni i pjesshëm A vazhdojnë të lëvizin bashkë dy ndryshore pasi të dyja përshtaten për një ndryshore të tretë? Korrelacioni mes dy kolonave të rezidualeve E bën të dukshme përshtatjen statistikore
Regresioni i shumëfishtë Si lidhet një rezultat me disa ndryshore parashikuese njëkohësisht? Pjerrësitë e kushtëzuara, koeficientët tregues, ndërveprimet dhe testet e përbashkëta Vendos ndryshoret parashikuese sasiore dhe kategorike në një ekuacion
ANOVA A ndryshojnë mesataret e popullatës mes niveleve të faktorit kategorik? Mesataret e grupeve, ndryshueshmëria e ndarë, kontrastet dhe testet e përgjithshme \(F\) E shpreh krahasimin e grupeve si një model tjetër linear

Fillo në krye të tabelës. Korrelacioni është simetrik: tregon se dy ndryshore lëvizin bashkë, por nuk cakton një rezultat. Regresioni i thjeshtë emërton një rezultat, përshtat mesataren e tij nga një ndryshore parashikuese dhe lë rezidualet, vlera e vëzhguar minus vlera e përshtatur. Korrelacioni i pjesshëm i përdor ato reziduale për të bërë një pyetje për lidhjen e përshtatur. Regresioni i shumëfishtë ruan një rezultat dhe sjell disa kontribute parashikuese në të njëjtën vlerë të përshtatur.

Pastaj ANOVA e përshtat atë kornizë për ndryshoret parashikuese kategorike. Për ta parë lidhjen në rastin më të thjeshtë me dy grupe, kodoje përkatësinë në grup me \(D=0\) për grupin referues dhe \(D=1\) për grupin e krahasimit:

\[ \widehat{Y}=b_0+b_1D. \]

Për grupin referues, zëvendësimi i \(D=0\) jep mesataren e përshtatur \(b_0\). Për grupin e krahasimit, zëvendësimi i \(D=1\) jep mesataren e përshtatur \(b_0+b_1\). Prandaj, koeficienti \(b_1\) është diferenca mes dy mesatareve të përshtatura të grupeve. Me më shumë se dy nivele, \(k-1\) ndryshore treguese i përfaqësojnë mesataret e grupeve dhe testi i përgjithshëm \(F\) i ANOVA-s pyet nëse të gjithë koeficientët e tyre të bashkërenditur të popullatës mund të jenë zero.

E njëjta lidhje shpjegon aritmetikën në shembullin e simuluar. \(SS_A\) është ndryshueshmëria e modelit që lidhet me ndryshoren parashikuese kategorike, ashtu si \(SS_{\text{model}}\) shënon ndryshueshmërinë e përfaqësuar në regresion. \(SS_e\) është ndryshueshmëria reziduale rreth mesatareve të përshtatura të grupeve, ashtu si rezidualet e regresionit matin largësitë, vlera e vëzhguar minus vlera e përshtatur. Raporti i katrorëve të tyre mesatarë krijon statistikën \(F\) të ANOVA-s, ndërsa testi global ose i ndërfutur \(F\) në regresion përdor të njëjtën logjikë të gjerë të ndryshueshmërisë së përfaqësuar në raport me atë që mbetet.

Edhe zgjerimet përshtaten në këtë pamje. ANOVA faktoriale shton më shumë ndryshore parashikuese kategorike dhe ndërveprimet e tyre. Analiza e kovariancës bashkon ndryshore parashikuese kategorike dhe sasiore. Faktori i rastësishëm e ndryshon synimin nga diferencat mesatare të zgjedhura te një përbërës i variancës. Matjet e përsëritura shtojnë një term personi sepse vëzhgimet nga i njëjti person lidhen. Këto nuk janë teste të shkëputura për t’u mësuar përmendsh. Janë zgjedhje modeli që pasqyrojnë ndryshoret, dizajnin, varësinë dhe pyetjen shkencore.

Një mënyrë e lehtë për ta mbajtur mend rendin është kjo: së pari përshkruaj si lëvizin ndryshoret, pastaj përshtat një vijë, më pas pyet çfarë mbetet pas përshtatjes, lejo disa ndryshore parashikuese dhe në fund dalloji krahasimet e grupeve si pjesë të së njëjtës familje modelesh të përshtatura. Formulat bëhen më të lehta sapo secila lidhet me këtë histori.

Analiza e variancës, ose ANOVA, krahason mesataret e popullatës nëpër nivelet e një ose më shumë faktorëve kategorikë. Testi i saj i përgjithshëm \(F\) krahason ndryshueshmërinë që përfaqësohet nga faktori me ndryshueshmërinë që mbetet brenda grupeve të përshtatura.

ANOVA njëfaktoriale

Për \(p\) nivele të faktorit,

\[ H_0:\mu_1=\cdots=\mu_p, \]

ndërsa hipoteza alternative thotë se të paktën dy mesatare të popullatës ndryshojnë. Ajo nuk thotë se çdo çift ndryshon.

Ndryshueshmëria e vëzhguar ndahet saktësisht:

\[ SS_{total}=SS_A+SS_e. \]

Tabela 23: Rreshtat e faktorit dhe gabimit krahasojnë ndarjen e mesatareve me ndryshueshmërinë brenda grupeve.
Burimi Shkallët e lirisë Katrori mesatar Statistika e testit
Faktori A \(p-1\) \(MS_A=SS_A/(p-1)\) \(F=MS_A/MS_e\)
Gabimi \(N-p\) \(MS_e=SS_e/(N-p)\)
Totali \(N-1\)

Pas një rezultati të përgjithshëm domethënës vjen një plan krahasimi që i përshtatet pyetjes. Kontrasti përdor pesha që japin shumën zero. Kontrastet e planifikuara përcaktohen para se të shqyrtohen rezultatet. Familjet post hoc, si të gjitha çiftet Tukey ose krahasimet Dunnett me referencën, e mbrojnë normën e gabimit të llojit I për familjen e tyre të shënuar. Bonferroni nuk kërkon teste të pavarura, megjithëse mund të jetë konservativ.

Kontrollet e dizajnit dhe modelit

  • Struktura me rezultat sasior dhe faktor kategorik duhet të përputhet me pyetjen kërkimore.
  • Rastet e pavarura, një model i përshtatshëm i shpërndarjes së gabimit dhe varianca mjaft të barabarta të gabimit mbështesin inferencën e zakonshme njëfaktoriale me faktor fiks.
  • Caktimi i rastësishëm mbështet krahasimin shkakësor të kushteve të caktuara. Vetëm një diferencë e vëzhguar mes grupeve nuk e mbështet.
  • Grafikët e rezidualeve mund të zbulojnë shqetësime për shpërndarje ose formë të pabarabartë, por nuk mund ta verifikojnë caktimin ose pavarësinë.
  • Një rezultat domethënës nuk identifikon çdo çift që ndryshon dhe as nuk vërteton rëndësi praktike.

Zgjerimet

Tabela 24: Çdo zgjerim e ndryshon pyetjen e dizajnit dhe, prandaj, strukturën e modelit.
Zgjerimi Pyetja e re
ANOVA faktoriale Si lidhen disa faktorë kategorikë dhe ndërveprimet e tyre me rezultatin?
Faktori i rastësishëm Sa ndryshueshmëri e modelit lidhet me nivelet e kampionuara nga një popullatë më e gjerë nivelesh?
Matjet e përsëritura Si ndryshojnë kushtet kur të njëjtët persona maten disa herë?
Analiza e kovariancës Si punojnë së bashku ndryshoret parashikuese kategorike dhe sasiore në një model?

Për një faktor njëfaktorial të rastësishëm dhe të balancuar,

\[ \widehat{\sigma}_A^2=\frac{MS_A-MS_e}{n}, \qquad ICC=\frac{\widehat{\sigma}_A^2} {\widehat{\sigma}_A^2+\widehat{\sigma}_e^2}. \]

Në ANOVA-n me matje të përsëritura, vëzhgimet e të njëjtit person lidhen. Sfericiteti pyet nëse të gjitha variancat në popullatë të rezultateve të diferencave në çift janë të barabarta. Korrigjimi Greenhouse-Geisser i shumëzon shkallët e lirisë të numëruesit dhe emëruesit me \(\widehat\varepsilon\). Ai e lë të pandryshuar \(F\) e vëzhguar dhe rillogarit referencën e saj.

Si lidhen idetë

ANOVA nuk është e shkëputur nga regresioni. Ndryshoret treguese përfaqësojnë nivelet e faktorit, mesataret e përshtatura të grupeve janë vlera të përshtatura të regresionit dhe \(SS_e\) është ndryshueshmëria reziduale. Prandaj, korrelacioni, regresioni i thjeshtë, korrelacioni i pjesshëm, regresioni i shumëfishtë dhe ANOVA formojnë një familje në zhvillim të pyetjeve lineare. Dizajni, rolet e ndryshoreve, varësia dhe popullata e synuar përcaktojnë se cili version është i përshtatshëm.

Shkarko përmbledhjen

PërmbledhjeShkarko PDF PërmbledhjeShkarko Word